Giúp tớ với

Bài 1: a) Tìm tọa độ trung điểm của AB và tọa độ trọng tâm của $\Delta ABC$ Trung điểm của AB: \[ M = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2} \right) \] \[ M = \left( \frac{1 + 2}{2}, \frac{1 - 2}{2}, \frac{2 + 3}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{5}{2} \right) \] Trọng tâm của $\Delta ABC$: \[ G = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3} \right) \] \[ G = \left( \frac{1 + 2 + 0}{3}, \frac{1 - 2 + 1}{3}, \frac{2 + 3 + 0}{3} \right) = \left( 1, 0, \frac{5}{3} \right) \] b) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành Trong hình bình hành, trung điểm của hai đường chéo trùng nhau. Do đó, trung điểm của AC và BD phải trùng nhau. Trung điểm của AC: \[ N = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}, \frac{z_A + z_C}{2} \right) \] \[ N = \left( \frac{1 + 0}{2}, \frac{1 + 1}{2}, \frac{2 + 0}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, 1, 1 \right) \] Trung điểm của BD cũng phải là N: \[ N = \left( \frac{x_B + x_D}{2}, \frac{y_B + y_D}{2}, \frac{z_B + z_D}{2} \right) \] \[ \left( \frac{1}{2}, 1, 1 \right) = \left( \frac{2 + x_D}{2}, \frac{-2 + y_D}{2}, \frac{3 + z_D}{2} \right) \] Từ đây, ta có hệ phương trình: \[ \frac{2 + x_D}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow 2 + x_D = 1 \Rightarrow x_D = -1 \] \[ \frac{-2 + y_D}{2} = 1 \Rightarrow -2 + y_D = 2 \Rightarrow y_D = 4 \] \[ \frac{3 + z_D}{2} = 1 \Rightarrow 3 + z_D = 2 \Rightarrow z_D = -1 \] Vậy tọa độ của điểm D là: \[ D(-1, 4, -1) \] Bài 2: Để tìm giá trị của \( m \) sao cho góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\) bằng 45°, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính tích vô hướng của hai vectơ: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = (1, 1, -2) \cdot (1, 0, m) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + (-2) \cdot m = 1 - 2m \] 2. Tính độ dài của mỗi vectơ: \[ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \] \[ |\overrightarrow{v}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + m^2} = \sqrt{1 + m^2} \] 3. Áp dụng công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}|} \] Vì góc giữa hai vectơ là 45°, ta có: \[ \cos(45^\circ) = \frac{1 - 2m}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{1 + m^2}} \] Biết rằng \(\cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}\), ta thay vào: \[ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 - 2m}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{1 + m^2}} \] 4. Giải phương trình: \[ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 - 2m}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{1 + m^2}} \] Nhân cả hai vế với \(\sqrt{6} \cdot \sqrt{1 + m^2}\): \[ \sqrt{6} \cdot \sqrt{1 + m^2} = \sqrt{2} \cdot (1 - 2m) \] Bình phương cả hai vế: \[ 6(1 + m^2) = 2(1 - 2m)^2 \] Mở ngoặc và giản ước: \[ 6 + 6m^2 = 2(1 - 4m + 4m^2) \] \[ 6 + 6m^2 = 2 - 8m + 8m^2 \] Chuyển tất cả về một vế: \[ 6 + 6m^2 - 2 + 8m - 8m^2 = 0 \] \[ -2m^2 + 8m + 4 = 0 \] Chia cả phương trình cho -2: \[ m^2 - 4m - 2 = 0 \] 5. Giải phương trình bậc hai: Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\): \[ m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = -2\): \[ m = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} \] \[ m = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2} \] \[ m = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} \] \[ m = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} \] \[ m = 2 \pm \sqrt{6} \] Vậy giá trị của \( m \) để góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\) bằng 45° là: \[ m = 2 + \sqrt{6} \quad \text{hoặc} \quad m = 2 - \sqrt{6} \] Bài 3: Để ba điểm \( A(-1;2;-3) \), \( B(1;0;2) \), và \( C(x;y;-2) \) thẳng hàng, thì vectơ \( \overrightarrow{AB} \) và vectơ \( \overrightarrow{AC} \) phải cùng phương. Ta sẽ tính hai vectơ này và kiểm tra điều kiện để chúng cùng phương. 1. Tính vectơ \( \overrightarrow{AB} \): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (1 - (-1); 0 - 2; 2 - (-3)) = (2; -2; 5) \] 2. Tính vectơ \( \overrightarrow{AC} \): \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (x - (-1); y - 2; -2 - (-3)) = (x + 1; y - 2; 1) \] 3. Để \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AC} \) cùng phương, tồn tại số thực \( k \) sao cho: \[ \overrightarrow{AC} = k \cdot \overrightarrow{AB} \] \[ (x + 1; y - 2; 1) = k \cdot (2; -2; 5) \] 4. Từ đây ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} x + 1 = 2k \\ y - 2 = -2k \\ 1 = 5k \end{cases} \] 5. Giải phương trình \( 1 = 5k \): \[ k = \frac{1}{5} \] 6. Thay \( k = \frac{1}{5} \) vào hai phương trình còn lại: \[ x + 1 = 2 \cdot \frac{1}{5} \Rightarrow x + 1 = \frac{2}{5} \Rightarrow x = \frac{2}{5} - 1 = \frac{2}{5} - \frac{5}{5} = -\frac{3}{5} \] \[ y - 2 = -2 \cdot \frac{1}{5} \Rightarrow y - 2 = -\frac{2}{5} \Rightarrow y = -\frac{2}{5} + 2 = -\frac{2}{5} + \frac{10}{5} = \frac{8}{5} \] 7. Tính \( x + y \): \[ x + y = -\frac{3}{5} + \frac{8}{5} = \frac{-3 + 8}{5} = \frac{5}{5} = 1 \] Vậy \( x + y = 1 \). Đáp số: \( x + y = 1 \).