..............

Câu 9. Trước tiên, ta xác định tọa độ của các đỉnh của tứ diện đều ABCD trong hệ tọa độ Oxyz đã cho. - Điểm A có tọa độ $(0, 0, 0)$. - Điểm B có tọa độ $(a, 0, 0)$. - Điểm C có tọa độ $\left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right)$. - Điểm D có tọa độ $\left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{6}, \frac{a\sqrt{6}}{3}\right)$. Tiếp theo, ta xác định tọa độ của điểm K, trung điểm của AB: \[ K = \left(\frac{0 + a}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, 0, 0\right) \] Bây giờ, ta xác định tọa độ của điểm M, hình chiếu vuông góc của K lên AD. Ta biết rằng M nằm trên đường thẳng AD, do đó tọa độ của M sẽ có dạng $(x, y, z)$ sao cho: \[ \overrightarrow{KM} \cdot \overrightarrow{AD} = 0 \] Tọa độ của $\overrightarrow{AD}$ là: \[ \overrightarrow{AD} = \left(\frac{a}{2} - 0, \frac{a\sqrt{3}}{6} - 0, \frac{a\sqrt{6}}{3} - 0\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{6}, \frac{a\sqrt{6}}{3}\right) \] Tọa độ của $\overrightarrow{KM}$ là: \[ \overrightarrow{KM} = \left(x - \frac{a}{2}, y - 0, z - 0\right) = \left(x - \frac{a}{2}, y, z\right) \] Ta có: \[ \left(x - \frac{a}{2}\right) \cdot \frac{a}{2} + y \cdot \frac{a\sqrt{3}}{6} + z \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} = 0 \] \[ \frac{a}{2} \left(x - \frac{a}{2}\right) + \frac{a\sqrt{3}}{6} y + \frac{a\sqrt{6}}{3} z = 0 \] \[ \frac{a}{2} x - \frac{a^2}{4} + \frac{a\sqrt{3}}{6} y + \frac{a\sqrt{6}}{3} z = 0 \] \[ \frac{a}{2} x + \frac{a\sqrt{3}}{6} y + \frac{a\sqrt{6}}{3} z = \frac{a^2}{4} \] \[ x + \frac{\sqrt{3}}{3} y + \frac{2\sqrt{6}}{3} z = \frac{a}{2} \] Do M nằm trên đường thẳng AD, nên tọa độ của M sẽ có dạng: \[ M = \left(t \cdot \frac{a}{2}, t \cdot \frac{a\sqrt{3}}{6}, t \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3}\right) \] Thay vào phương trình trên: \[ t \cdot \frac{a}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot t \cdot \frac{a\sqrt{3}}{6} + \frac{2\sqrt{6}}{3} \cdot t \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} = \frac{a}{2} \] \[ t \cdot \frac{a}{2} + t \cdot \frac{a}{6} + t \cdot \frac{4a}{3} = \frac{a}{2} \] \[ t \cdot \left(\frac{a}{2} + \frac{a}{6} + \frac{4a}{3}\right) = \frac{a}{2} \] \[ t \cdot \left(\frac{3a + a + 8a}{6}\right) = \frac{a}{2} \] \[ t \cdot \frac{12a}{6} = \frac{a}{2} \] \[ t \cdot 2a = \frac{a}{2} \] \[ t = \frac{1}{4} \] Vậy tọa độ của M là: \[ M = \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{a}{2}, \frac{1}{4} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{6}, \frac{1}{4} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3}\right) = \left(\frac{a}{8}, \frac{a\sqrt{3}}{24}, \frac{a\sqrt{6}}{12}\right) \] Cuối cùng, ta xác định tọa độ của điểm N, hình chiếu vuông góc của K lên AC. Ta biết rằng N nằm trên đường thẳng AC, do đó tọa độ của N sẽ có dạng $(x, y, z)$ sao cho: \[ \overrightarrow{KN} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \] Tọa độ của $\overrightarrow{AC}$ là: \[ \overrightarrow{AC} = \left(\frac{a}{2} - 0, \frac{a\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right) \] Tọa độ của $\overrightarrow{KN}$ là: \[ \overrightarrow{KN} = \left(x - \frac{a}{2}, y - 0, z - 0\right) = \left(x - \frac{a}{2}, y, z\right) \] Ta có: \[ \left(x - \frac{a}{2}\right) \cdot \frac{a}{2} + y \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} + z \cdot 0 = 0 \] \[ \frac{a}{2} \left(x - \frac{a}{2}\right) + \frac{a\sqrt{3}}{2} y = 0 \] \[ \frac{a}{2} x - \frac{a^2}{4} + \frac{a\sqrt{3}}{2} y = 0 \] \[ x + \sqrt{3} y = \frac{a}{2} \] Do N nằm trên đường thẳng AC, nên tọa độ của N sẽ có dạng: \[ N = \left(t \cdot \frac{a}{2}, t \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right) \] Thay vào phương trình trên: \[ t \cdot \frac{a}{2} + \sqrt{3} \cdot t \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{2} \] \[ t \cdot \frac{a}{2} + t \cdot \frac{3a}{2} = \frac{a}{2} \] \[ t \cdot \left(\frac{a}{2} + \frac{3a}{2}\right) = \frac{a}{2} \] \[ t \cdot 2a = \frac{a}{2} \] \[ t = \frac{1}{4} \] Vậy tọa độ của N là: \[ N = \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{a}{2}, \frac{1}{4} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right) = \left(\frac{a}{8}, \frac{a\sqrt{3}}{8}, 0\right) \] Vậy đáp án đúng là: \[ D. K(0;0;0), M\left(\frac{a\sqrt{3}}{24}; 0; \frac{a\sqrt{6}}{12}\right), N\left(\frac{a\sqrt{3}}{8}; \frac{3a}{8}; 0\right) \]