Djdndndndn

Câu 1: Để giải phương trình \(x^3 - x^2 + 4x - 4 = 0\), ta sẽ thử nghiệm các giá trị nguyên để tìm nghiệm của phương trình. 1. Thử nghiệm nghiệm \(x = 1\): \[ 1^3 - 1^2 + 4 \cdot 1 - 4 = 1 - 1 + 4 - 4 = 0 \] Vậy \(x = 1\) là nghiệm của phương trình. 2. Thử nghiệm nghiệm \(x = 2\): \[ 2^3 - 2^2 + 4 \cdot 2 - 4 = 8 - 4 + 8 - 4 = 8 \] Vậy \(x = 2\) không phải là nghiệm của phương trình. Do đó, phương trình \(x^3 - x^2 + 4x - 4 = 0\) có nghiệm là \(x = 1\). Đáp án đúng là: c) Nghiệm của phương trình là \(x = 1\). Câu 2: a) Đúng. - Khi hai đường tròn $(O, R)$ và $(O', r)$ (với $0 < r < R)$ chứa nhau, khoảng cách giữa hai tâm $d$ sẽ nhỏ hơn hiệu bán kính của chúng, tức là $d < R - r$. b) Sai. - Khi hai đường tròn $(O, 6 cm)$ và $(O', 4 cm)$ có khoảng cách giữa hai tâm là $OO' = 10 cm$, ta thấy $OO' = R + r = 6 + 4 = 10$. Do đó, hai đường tròn này tiếp xúc ngoài nhau, không phải chứa nhau. c) Đúng. - Ta có bán kính của đường tròn là $R = 15 cm$ và khoảng cách từ tâm đến dây là $OM = 9 cm$. Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông $OAM$, ta có: \[ AM = \sqrt{OA^2 - OM^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}. \] Do đó, dây $AB = 2 \times AM = 2 \times 12 = 24 \text{ cm}$. d) Sai. - Điều kiện để đường thẳng $d$ và đường tròn $(O, 7 cm)$ có điểm chung là khoảng cách từ tâm $O$ đến đường thẳng $d$ nhỏ hơn hoặc bằng bán kính của đường tròn, tức là $OH \leq 7 cm$. Đáp số: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai. Câu 3: a) Trục căn thức ở mẫu của biểu thức \( P \): \[ P = \frac{45}{10 - 5\sqrt{3}} \] Nhân cả tử và mẫu với \( 10 + 5\sqrt{3} \): \[ P = \frac{45(10 + 5\sqrt{3})}{(10 - 5\sqrt{3})(10 + 5\sqrt{3})} \] \[ P = \frac{45(10 + 5\sqrt{3})}{100 - 75} \] \[ P = \frac{45(10 + 5\sqrt{3})}{25} \] \[ P = \frac{450 + 225\sqrt{3}}{25} \] \[ P = 18 + 9\sqrt{3} \] b) Biểu thức \( P \) có dạng \( a + b\sqrt{3} \), ta thấy \( a = 18 \) và \( b = 9 \). Tích \( ab \) là: \[ ab = 18 \times 9 = 162 \] c) Nghiệm của phương trình \( x^2 - (P - 9\sqrt{3})x = 0 \): \[ x^2 - (18 + 9\sqrt{3} - 9\sqrt{3})x = 0 \] \[ x^2 - 18x = 0 \] \[ x(x - 18) = 0 \] Nghiệm của phương trình là: \[ x = 0 \text{ hoặc } x = 18 \] d) So sánh biểu thức \( P \) với 34: \[ P = 18 + 9\sqrt{3} \] Ta biết rằng \( \sqrt{3} \approx 1.732 \), do đó: \[ 9\sqrt{3} \approx 9 \times 1.732 = 15.588 \] \[ P \approx 18 + 15.588 = 33.588 \] Vậy: \[ P < 34 \] Đáp số: a) \( 18 + 9\sqrt{3} \) b) \( 162 \) c) \( x = 0 \text{ hoặc } x = 18 \) d) \( P < 34 \) Câu 4: Để xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình $\sqrt{x+4-2\sqrt{x+3}}=2$, ta cần đảm bảo rằng biểu thức dưới dấu căn không âm và các phép toán liên quan đều có nghĩa. Bước 1: Xác định điều kiện để biểu thức dưới dấu căn không âm: \[ x + 4 - 2\sqrt{x+3} \geq 0 \] Bước 2: Xác định điều kiện để căn bậc hai có nghĩa: \[ x + 3 \geq 0 \] \[ x \geq -3 \] Bước 3: Kết hợp các điều kiện trên: \[ x \geq -3 \] Do đó, phương trình xác định với mọi giá trị của x thỏa mãn điều kiện trên. Đáp án đúng là: c) $ĐKXD: x \geq -3$ Lập luận từng bước: - Điều kiện để căn bậc hai có nghĩa là $x + 3 \geq 0$, dẫn đến $x \geq -3$. - Điều kiện này đảm bảo rằng biểu thức dưới dấu căn không âm và các phép toán liên quan đều có nghĩa. Vậy phương trình xác định với mọi giá trị của x thỏa mãn $x \geq -3$. Câu 1: Đầu tiên, chúng ta cần tính tổng số tiền mà bác An đã chi cho túi nước giặt và chai nước xả vải. Tổng số tiền đã chi: \[ 190000 + 110000 = 300000 \text{ đồng} \] Tiếp theo, chúng ta cần biết số tiền còn lại của bác An sau khi mua túi nước giặt và chai nước xả vải. Số tiền còn lại: \[ 500000 - 300000 = 200000 \text{ đồng} \] Bây giờ, chúng ta cần biết bác An có thể mua được nhiều nhất bao nhiêu chai nước rửa tay với số tiền còn lại. Mỗi chai nước rửa tay có giá 45000 đồng. Số chai nước rửa tay bác An mua được nhiều nhất: \[ \left\lfloor \frac{200000}{45000} \right\rfloor = \left\lfloor 4.4444... \right\rfloor = 4 \text{ chai} \] Vậy, bác An mua được nhiều nhất 4 chai nước rửa tay. Đáp số: 4 chai nước rửa tay. Câu 2: Trước tiên, ta cần vẽ sơ đồ để dễ dàng hình dung và giải bài toán. Ta có: - Chiều dài đường chéo \( BC = 16 \, m \) - Góc tạo bởi đường chéo và chiều rộng \( AB \) là \( 68^\circ \) Ta cần tính chiều dài \( AC \) của hồ bơi. Áp dụng công thức lượng giác trong tam giác vuông, ta có: \[ \cos(68^\circ) = \frac{AB}{BC} \] Từ đây, ta tính được chiều rộng \( AB \): \[ AB = BC \times \cos(68^\circ) \] \[ AB = 16 \times \cos(68^\circ) \] Lấy giá trị \( \cos(68^\circ) \approx 0.3746 \): \[ AB = 16 \times 0.3746 \] \[ AB \approx 5.9936 \, m \] Tiếp theo, ta tính chiều dài \( AC \) bằng cách sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông \( ABC \): \[ AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} \] \[ AC = \sqrt{16^2 - 5.9936^2} \] \[ AC = \sqrt{256 - 35.9232} \] \[ AC = \sqrt{220.0768} \] \[ AC \approx 14.83 \, m \] Vậy chiều dài \( AC \) của hồ bơi là khoảng \( 14.8 \, m \) (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất). Đáp số: \( AC \approx 14.8 \, m \) Câu 3: Khi hai đường tròn tiếp xúc trong, khoảng cách giữa tâm của hai đường tròn bằng hiệu bán kính của hai đường tròn. Độ dài OO' là: \[ OO' = O' - O = 5~cm - 2~cm = 3~cm \] Đáp số: 3 cm Câu 4: Điều kiện xác định: \( x \geq 2 \) Bước 1: Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn bậc hai: \[ (x - 3)^2 = (2\sqrt{x - 2})^2 \] Bước 2: Thực hiện phép bình phương: \[ x^2 - 6x + 9 = 4(x - 2) \] Bước 3: Mở ngoặc và sắp xếp các hạng tử: \[ x^2 - 6x + 9 = 4x - 8 \] \[ x^2 - 6x + 9 - 4x + 8 = 0 \] \[ x^2 - 10x + 17 = 0 \] Bước 4: Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 17}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 68}}{2} \] \[ x = \frac{10 \pm \sqrt{32}}{2} \] \[ x = \frac{10 \pm 4\sqrt{2}}{2} \] \[ x = 5 \pm 2\sqrt{2} \] Bước 5: Kiểm tra điều kiện xác định: - \( x = 5 + 2\sqrt{2} \geq 2 \) (thỏa mãn) - \( x = 5 - 2\sqrt{2} \geq 2 \) (thỏa mãn) Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = 5 + 2\sqrt{2} \text{ hoặc } x = 5 - 2\sqrt{2} \]