Làm tự luận

Câu 2. Để tìm tọa độ đỉnh \( A(a, b) \) và \( B(m, n) \), ta sẽ sử dụng các thông tin đã cho về trọng tâm \( G(0, 4) \) và trung điểm \( M(2, 0) \). Bước 1: Tìm tọa độ đỉnh \( B(m, n) \) Trung điểm \( M \) của đoạn thẳng \( BC \) có tọa độ: \[ M = \left( \frac{-2 + m}{2}, \frac{-4 + n}{2} \right) \] Theo đề bài, \( M(2, 0) \), nên ta có: \[ \frac{-2 + m}{2} = 2 \] \[ \frac{-4 + n}{2} = 0 \] Giải hai phương trình này: \[ -2 + m = 4 \Rightarrow m = 6 \] \[ -4 + n = 0 \Rightarrow n = 4 \] Vậy tọa độ đỉnh \( B \) là \( B(6, 4) \). Bước 2: Tìm tọa độ đỉnh \( A(a, b) \) Trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) có tọa độ: \[ G = \left( \frac{-2 + 6 + a}{3}, \frac{-4 + 4 + b}{3} \right) \] Theo đề bài, \( G(0, 4) \), nên ta có: \[ \frac{-2 + 6 + a}{3} = 0 \] \[ \frac{-4 + 4 + b}{3} = 4 \] Giải hai phương trình này: \[ \frac{4 + a}{3} = 0 \Rightarrow 4 + a = 0 \Rightarrow a = -4 \] \[ \frac{b}{3} = 4 \Rightarrow b = 12 \] Vậy tọa độ đỉnh \( A \) là \( A(-4, 12) \). Bước 3: Tính \( a + b + m + n \) Tọa độ đỉnh \( A \) là \( (-4, 12) \) và tọa độ đỉnh \( B \) là \( (6, 4) \). Do đó: \[ a + b + m + n = -4 + 12 + 6 + 4 = 18 \] Vậy, \( a + b + m + n = 18 \).