Giải hộ mình câu này với các bạn

Câu 56: Câu hỏi: Từ hai điểm phân biệt A, B xác định được bao nhiêu vectơ khác $\overrightarrow{0}$? Câu trả lời: - Từ hai điểm phân biệt A và B, ta xác định được hai vectơ khác $\overrightarrow{0}$ là $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BA}$. Vậy từ hai điểm phân biệt A và B xác định được 2 vectơ khác $\overrightarrow{0}$. Đáp án đúng là: C. 2. Câu 57: Để xác định hai vectơ cùng hướng, ta cần kiểm tra xem chúng có cùng phương và cùng chiều hay không. a. $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{MP}$: - Cả hai vectơ đều xuất phát từ điểm M. - Tuy nhiên, chúng không cùng phương vì N và P là hai điểm khác nhau không thẳng hàng với M. - Do đó, $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{MP}$ không cùng hướng. b. $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{PN}$: - Cả hai vectơ đều chung điểm N. - Tuy nhiên, chúng không cùng phương vì M và P là hai điểm khác nhau không thẳng hàng với N. - Do đó, $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{PN}$ không cùng hướng. c. $\overrightarrow{NM}$ và $\overrightarrow{NP}$: - Cả hai vectơ đều xuất phát từ điểm N. - Chúng cùng phương vì M và P nằm trên cùng một đường thẳng đi qua N. - Tuy nhiên, chúng ngược chiều vì $\overrightarrow{NM}$ hướng từ N đến M còn $\overrightarrow{NP}$ hướng từ N đến P. - Do đó, $\overrightarrow{NM}$ và $\overrightarrow{NP}$ không cùng hướng. d. $\overrightarrow{MP}$ và $\overrightarrow{PN}$: - Cả hai vectơ đều chung điểm P. - Chúng cùng phương vì M và N nằm trên cùng một đường thẳng đi qua P. - Chúng cùng chiều vì $\overrightarrow{MP}$ hướng từ M đến P còn $\overrightarrow{PN}$ hướng từ P đến N. - Do đó, $\overrightarrow{MP}$ và $\overrightarrow{PN}$ cùng hướng. Vậy đáp án đúng là d. $\overrightarrow{MP}$ và $\overrightarrow{PN}$. Câu 58: Trong hình bình hành ABCD, ta biết rằng: - Các đường chéo của hình bình hành chia đôi nhau, tức là O là trung điểm của cả AC và BD. - Các cặp cạnh đối song song và bằng nhau, tức là AB = DC và AD = BC. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng đẳng thức: a. $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{DO}$ - Vì O là trung điểm của BD, nên $\overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{OD}$. Do đó, đẳng thức này sai. b. $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ - Vì AB = DC và AB // DC, nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. Do đó, đẳng thức này đúng. c. $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OC}$ - Vì O là trung điểm của AC, nên $\overrightarrow{OA} = -\overrightarrow{OC}$. Do đó, đẳng thức này sai. d. $\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{DA}$ - Vì CB = DA và CB // DA, nên $\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{DA}$. Do đó, đẳng thức này đúng. Như vậy, các đẳng thức sai là: a. $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{DO}$ c. $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OC}$ Đáp án: a và c. Câu 59: Trước tiên, ta cần xác định độ dài cạnh \( BC \) của hình chữ nhật \( ABCD \). Ta biết rằng trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau tại tâm hình chữ nhật. Do đó, ta có thể sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông \( ABC \): \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ 5^2 = 4^2 + BC^2 \] \[ 25 = 16 + BC^2 \] \[ BC^2 = 25 - 16 \] \[ BC^2 = 9 \] \[ BC = \sqrt{9} \] \[ BC = 3 \] Vậy độ dài vectơ \( \overrightarrow{BC} \) là 3. Đáp án đúng là: A. 3. Câu 60: Trước tiên, ta xác định các điểm A, B, C, D trong hình chữ nhật ABCD. Biết rằng AB = 3 và BC = 4. Ta cần tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{CA}$, tức là khoảng cách từ điểm C đến điểm A. Trong hình chữ nhật, AC là đường chéo của hình chữ nhật. Ta sử dụng định lý Pythagoras để tính độ dài của đường chéo AC. Theo định lý Pythagoras: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ AC^2 = 3^2 + 4^2 \] \[ AC^2 = 9 + 16 \] \[ AC^2 = 25 \] Lấy căn bậc hai của cả hai vế: \[ AC = \sqrt{25} \] \[ AC = 5 \] Vậy độ dài của vectơ $\overrightarrow{CA}$ là 5. Đáp án đúng là: a. $|\overrightarrow{CA}| = 5$. Câu 61: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một. a. $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{AB}$ với I là điểm bất kì. - Ta có $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{IB}$. - Điều này không đúng vì $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}$ không phải lúc nào cũng bằng $\overrightarrow{AB}$. b. $\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{0}$. - Vì M là trung điểm của đoạn thẳng AB, nên $\overrightarrow{AM} = -\overrightarrow{BM}$. - Do đó, $\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{0}$. - Điều này đúng. c. $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{IM}$ với I là điểm bất kì. - Ta có $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{IB}$. - Điều này không đúng vì $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}$ không phải lúc nào cũng bằng $\overrightarrow{IM}$. d. $\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}$. - Vì M là trung điểm của đoạn thẳng AB, nên $\overrightarrow{AM} = -\overrightarrow{MB}$. - Do đó, $\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}$. - Điều này đúng. Tuy nhiên, trong các khẳng định trên, chỉ có khẳng định b là đúng. Đáp án: b. $\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{0}$. Câu 62: Trước tiên, ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một: a. $\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{BD}$ - Trong hình bình hành, tâm O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, đồng thời là trung điểm của cả hai đường chéo này. - Do đó, $\overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{OD}$ (vì O là trung điểm của BD). - Vậy $\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$, không phải $\overrightarrow{BD}$. - Khẳng định này sai. b. $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$ - Vì O là trung điểm của AC, nên $\overrightarrow{OA} = -\overrightarrow{OC}$. - Do đó, $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$. - Khẳng định này đúng. c. $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ - Trong hình bình hành, các cạnh đối diện song song và bằng nhau. - Do đó, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. - Khẳng định này đúng. d. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$ - Theo quy tắc hình bình hành, tổng của hai vectơ từ một đỉnh đến hai đỉnh kề liền với nó bằng vectơ từ đỉnh đó đến đỉnh đối diện. - Do đó, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$. - Khẳng định này đúng. Tóm lại, khẳng định sai là: a. $\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{BD}$. Câu 63: Để kiểm tra xem đẳng thức nào trong các đẳng thức đã cho luôn đúng với mọi điểm A, B, C bất kỳ, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của vectơ và quy tắc tam giác. a. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AC}$ Theo quy tắc tam giác, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$. Tuy nhiên, $\overrightarrow{CB}$ không phải là $\overrightarrow{BC}$ mà là vectơ ngược chiều. Do đó, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB}$ không phải là $\overrightarrow{AC}$. Vậy đẳng thức này không luôn đúng. b. $\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}$ Theo quy tắc tam giác, $\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CA}$. Tuy nhiên, $\overrightarrow{AC}$ không phải là $\overrightarrow{CA}$ mà là vectơ ngược chiều. Do đó, $\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AC}$ không phải là $\overrightarrow{AB}$. Vậy đẳng thức này không luôn đúng. c. $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}$ Theo quy tắc trừ vectơ, $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$. Tuy nhiên, $\overrightarrow{CB}$ không phải là $\overrightarrow{BC}$ mà là vectơ ngược chiều. Do đó, $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$ không phải là $\overrightarrow{BC}$. Vậy đẳng thức này không luôn đúng. d. $\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}$ Theo quy tắc trừ vectơ, $\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}$. Điều này đúng theo quy tắc tam giác và quy tắc trừ vectơ. Vậy đẳng thức đúng là: d. $\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}$ Câu 64: Để xác định đẳng thức nào là sai, chúng ta sẽ kiểm tra từng đẳng thức theo quy tắc cộng và trừ vectơ. a. $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}$ Theo quy tắc tam giác, $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}$ là đúng. b. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ Theo quy tắc tam giác, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ là đúng. c. $\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}$ Theo quy tắc tam giác, $\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB}$, không phải $\overrightarrow{BC}$. Do đó, đẳng thức này là sai. d. $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$ Theo quy tắc trừ vectơ, $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$ là đúng. Vậy đẳng thức sai là: c. $\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}$ Câu 65: Để kiểm tra từng khẳng định, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của vectơ. a. $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$ Theo quy tắc trừ vectơ: \[ \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB} \] Điều này đúng vì khi ta lấy vectơ $\overrightarrow{AB}$ trừ đi vectơ $\overrightarrow{AC}$, ta sẽ nhận được vectơ $\overrightarrow{CB}$. b. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{0}$ Theo quy tắc cộng vectơ: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{0} \] Điều này đúng vì $\overrightarrow{BA}$ là vectơ ngược chiều với $\overrightarrow{AB}$ và có cùng độ dài, do đó tổng của chúng là vectơ null. c. $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}$ Theo quy tắc trừ vectơ: \[ \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB} \] Như đã thấy ở trên, $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$ không bằng $\overrightarrow{BC}$ mà bằng $\overrightarrow{CB}$. Do đó, khẳng định này sai. d. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ Theo quy tắc cộng vectơ: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \] Điều này đúng vì khi ta cộng vectơ $\overrightarrow{AB}$ và vectơ $\overrightarrow{BC}$, ta sẽ nhận được vectơ $\overrightarrow{AC}$. Kết luận: Khẳng định sai là: c. $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}$. Câu 66: Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong hình bình hành ABCD với tâm O, các vectơ liên quan đến các đỉnh và tâm sẽ có mối liên hệ nhất định. Ta có: - $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{BO}$ - Ta biết rằng $\overrightarrow{BO} = -\overrightarrow{OB}$ (vì hai vectơ này ngược chiều). Do đó: \[ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} \] Trong hình bình hành, ta có: \[ \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OC} \] \[ \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OD} \] Vậy: \[ \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OD} \] Nhưng ta cũng biết rằng: \[ \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{DC} \] Mà trong hình bình hành, $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$. Vậy: \[ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{AB} \] Do đó, đáp án đúng là: b. $\overrightarrow{AB}$ Câu 67: Trước tiên, ta xác định các vectơ liên quan trong hình vuông ABCD. - Vectơ $\overrightarrow{OA}$ là vectơ từ tâm O đến đỉnh A. - Vectơ $\overrightarrow{OB}$ là vectơ từ tâm O đến đỉnh B. Ta biết rằng trong hình vuông ABCD, tâm O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, đồng thời cũng là trung điểm của cả hai đường chéo này. Do đó, OA = OB và góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ là 90°. Bây giờ, ta tính độ dài của vectơ tổng $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$. Ta có: \[ |\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = \frac{a\sqrt{2}}{2} \] Vì góc giữa $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ là 90°, nên theo công thức tính độ dài vectơ tổng của hai vectơ vuông góc, ta có: \[ |\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}| = \sqrt{|\overrightarrow{OA}|^2 + |\overrightarrow{OB}|^2} \] Thay các giá trị vào: \[ |\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}| = \sqrt{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} \] \[ = \sqrt{\frac{a^2 \cdot 2}{4} + \frac{a^2 \cdot 2}{4}} \] \[ = \sqrt{\frac{2a^2}{4} + \frac{2a^2}{4}} \] \[ = \sqrt{\frac{4a^2}{4}} \] \[ = \sqrt{a^2} \] \[ = a \] Vậy độ dài của vectơ $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$ là \( a \).