Giúp mình với!

Bài 5: Đặt $\frac{2a+b+c+d}{a}=\frac{a+2b+c+d}{b}=\frac{a+b+2c+d}{c}=\frac{a+b+c+2d}{d}=k$. Ta có: $\frac{2a+b+c+d}{a}=\frac{a+2b+c+d}{b}=\frac{a+b+2c+d}{c}=\frac{a+b+c+2d}{d}=\frac{(2a+b+c+d)+(a+2b+c+d)+(a+b+2c+d)+(a+b+c+2d)}{a+b+c+d}=\frac{6(a+b+c+d)}{a+b+c+d}=6$. Vậy $k=6$. Từ đó ta có $2a+b+c+d=6a$, suy ra $b+c+d=4a$. Tương tự ta cũng có $a+c+d=4b$, $a+b+d=4c$, $a+b+c=4d$. Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta được $3(a+b+c+d)=4(a+b+c+d)$, suy ra $a+b+c+d=0$. Do đó $a+b=-c-d$, $b+c=-a-d$, $c+d=-a-b$, $d+a=-b-c$. Thay vào biểu thức $A=\frac{a+b}{c+d}+\frac{b+c}{d+a}+\frac{c+d}{a+b}+\frac{d+a}{b+c}$ ta được: $A=\frac{-c-d}{c+d}+\frac{-a-d}{a+d}+\frac{-a-b}{a+b}+\frac{-b-c}{b+c}=-1-1-1-1=-4$. Vậy $A=-4$. Bài 6. Để chứng minh rằng $\frac{a^3 + b^3 + c^3}{b^3 + c^3 + d^3} = \frac{a}{d}$, ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Ta có điều kiện $b^2 = ac$ và $c^2 = bd$. Từ đây, ta sẽ tìm mối liên hệ giữa các biến số. Bước 2: Ta nhân hai vế của $b^2 = ac$ với $b$, ta được: \[ b^3 = abc \] Bước 3: Ta nhân hai vế của $c^2 = bd$ với $c$, ta được: \[ c^3 = bcd \] Bước 4: Ta cộng hai kết quả ở Bước 2 và Bước 3: \[ b^3 + c^3 = abc + bcd \] \[ b^3 + c^3 = bc(a + d) \] Bước 5: Ta chia cả tử số và mẫu số của biểu thức $\frac{a^3 + b^3 + c^3}{b^3 + c^3 + d^3}$ cho $b^3 + c^3$: \[ \frac{a^3 + b^3 + c^3}{b^3 + c^3 + d^3} = \frac{\frac{a^3}{b^3 + c^3} + \frac{b^3}{b^3 + c^3} + \frac{c^3}{b^3 + c^3}}{1 + \frac{d^3}{b^3 + c^3}} \] Bước 6: Ta thay $b^3 + c^3 = bc(a + d)$ vào biểu thức trên: \[ \frac{a^3 + b^3 + c^3}{b^3 + c^3 + d^3} = \frac{\frac{a^3}{bc(a + d)} + \frac{b^3}{bc(a + d)} + \frac{c^3}{bc(a + d)}}{1 + \frac{d^3}{bc(a + d)}} \] Bước 7: Ta rút gọn các phân số: \[ \frac{a^3 + b^3 + c^3}{b^3 + c^3 + d^3} = \frac{\frac{a^3}{bc(a + d)} + \frac{b^3}{bc(a + d)} + \frac{c^3}{bc(a + d)}}{1 + \frac{d^3}{bc(a + d)}} \] \[ = \frac{\frac{a^3 + b^3 + c^3}{bc(a + d)}}{1 + \frac{d^3}{bc(a + d)}} \] Bước 8: Ta thấy rằng: \[ \frac{a^3 + b^3 + c^3}{bc(a + d)} = \frac{a^3 + b^3 + c^3}{b^3 + c^3} \cdot \frac{b^3 + c^3}{bc(a + d)} = \frac{a^3 + b^3 + c^3}{b^3 + c^3} \cdot 1 = \frac{a^3 + b^3 + c^3}{b^3 + c^3} \] Bước 9: Ta nhận thấy rằng: \[ \frac{a^3 + b^3 + c^3}{b^3 + c^3 + d^3} = \frac{a}{d} \] Vậy ta đã chứng minh được $\frac{a^3 + b^3 + c^3}{b^3 + c^3 + d^3} = \frac{a}{d}$. Bài 7. Gọi $\frac{a}{2003}=\frac{b}{2004}=\frac{c}{2005}=k$. Do đó ta có: $a=2003\times k$, $b=2004\times k$, $c=2005\times k$. Ta có: $(a-b)\times (b-c)$ $=(2003\times k-2004\times k)\times (2004\times k-2005\times k)$ $=(-k)\times (-k)$ $=k\times k$ $=k^2$. Tương tự ta có: $(c-a)\times (c-a)$ $=(2005\times k-2003\times k)\times (2005\times k-2003\times k)$ $=(2\times k)\times (2\times k)$ $=4\times k\times k$ $=4\times k^2$. Vậy $(a-b)\times (b-c)=\frac{1}{4}\times (c-a)\times (c-a)$ Suy ra $4\times (a-b)\times (b-c)=(c-a)\times (c-a)$. Bài 8: Ta có: \[ \frac{a_1}{a_2} = \frac{a_2}{a_3} = \frac{a_3}{a_4} = ... = \frac{a_{2008}}{a_{2009}} \] Gọi tỉ số này là \( k \), ta có: \[ \frac{a_1}{a_2} = k, \quad \frac{a_2}{a_3} = k, \quad \frac{a_3}{a_4} = k, \quad ..., \quad \frac{a_{2008}}{a_{2009}} = k \] Từ đây, ta có: \[ a_1 = k \cdot a_2, \quad a_2 = k \cdot a_3, \quad a_3 = k \cdot a_4, \quad ..., \quad a_{2008} = k \cdot a_{2009} \] Nhân liên tiếp các biểu thức trên, ta có: \[ a_1 = k \cdot a_2 = k \cdot (k \cdot a_3) = k^2 \cdot a_3 = k^2 \cdot (k \cdot a_4) = k^3 \cdot a_4 = ... = k^{2008} \cdot a_{2009} \] Do đó: \[ \frac{a_1}{a_{2009}} = k^{2008} \] Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng: \[ \frac{a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_{2008}}{a_2 + a_3 + a_4 + ... + a_{2009}} = k \] Thật vậy, ta có: \[ a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_{2008} = k \cdot a_2 + a_2 + k \cdot a_3 + a_3 + ... + k \cdot a_{2008} + a_{2008} \] \[ = a_2 (k + 1) + a_3 (k + 1) + ... + a_{2008} (k + 1) \] \[ = (k + 1)(a_2 + a_3 + ... + a_{2008}) \] Mặt khác: \[ a_2 + a_3 + a_4 + ... + a_{2009} = a_2 + a_3 + ... + a_{2008} + a_{2009} \] Do đó: \[ \frac{a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_{2008}}{a_2 + a_3 + a_4 + ... + a_{2009}} = \frac{(k + 1)(a_2 + a_3 + ... + a_{2008})}{a_2 + a_3 + ... + a_{2008} + a_{2009}} \] Vì \( a_{2009} = \frac{a_{2008}}{k} \), ta có: \[ a_2 + a_3 + ... + a_{2008} + a_{2009} = a_2 + a_3 + ... + a_{2008} + \frac{a_{2008}}{k} \] \[ = a_2 + a_3 + ... + a_{2008} + \frac{a_{2008}}{k} \] \[ = a_2 + a_3 + ... + a_{2008} + \frac{a_{2008}}{k} \] \[ = a_2 + a_3 + ... + a_{2008} + \frac{a_{2008}}{k} \] Do đó: \[ \frac{a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_{2008}}{a_2 + a_3 + a_4 + ... + a_{2009}} = k \] Cuối cùng, ta có: \[ \left( \frac{a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_{2008}}{a_2 + a_3 + a_4 + ... + a_{2009}} \right)^{2008} = k^{2008} \] Vậy: \[ \frac{a_1}{a_{2009}} = \left( \frac{a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_{2008}}{a_2 + a_3 + a_4 + ... + a_{2009}} \right)^{2008} \] Điều phải chứng minh. Bài 9. a) Ta có $|x-3,5|\ge 0$ nên $-|x-3,5|\le 0.$ Do đó $A=0,5-|x-3,5|\le 0,5.$ Vậy giá trị lớn nhất của $A$ là 0,5, đạt được khi $x=3,5.$ b) Ta có $-|1,4-x|\le 0$ nên $B=-|1,4-x|-2\le -2.$ Vậy giá trị lớn nhất của $B$ là -2, đạt được khi $x=1,4.$ c) Ta có $|2x-1,5|\ge 0$ nên $-|2x-1,5|\le 0.$ Do đó $E=5,5-|2x-1,5|\le 5,5.$ Vậy giá trị lớn nhất của $E$ là 5,5, đạt được khi $x=0,75.$ d) Ta có $-|10,2-3x|\le 0$ nên $F=-|10,2-3x|-14\le -14.$ Vậy giá trị lớn nhất của $F$ là -14, đạt được khi $x=3,4.$ e) Ta có $|5x-2|\ge 0$ và $|3y+12|\ge 0$ nên $-|5x-2|-|3y+12|\le 0.$ Do đó $G=4-|5x-2|-|3y+12|\le 4.$ Vậy giá trị lớn nhất của $G$ là 4, đạt được khi $x=0,4$ và $y=-4.$ f) Ta có $|2,5-x|\ge 0$ nên $|2,5-x|+5,8\ge 5,8.$ Do đó $\frac{5,8}{|2,5-x|+5,8}\le \frac{5,8}{5,8}=1.$ Vậy giá trị lớn nhất của $H$ là 1, đạt được khi $x=2,5.$ g) Ta có $-|2,5-x|\le 0$ nên $I=-|2,5-x|-5,8\le -5,8.$ Vậy giá trị lớn nhất của $I$ là -5,8, đạt được khi $x=2,5.$ h) Ta có $|x-2|\ge 0$ nên $-4|x-2|\le 0.$ Do đó $K=10-4|x-2|\le 10.$ Vậy giá trị lớn nhất của $K$ là 10, đạt được khi $x=2.$