Giúp mình với!

Câu 20. Để tìm thời điểm mà tốc độ tăng trưởng của dân số tỉnh A là lớn nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của đạo hàm \( f'(t) \). Bước 1: Tính đạo hàm \( f'(t) \) Hàm số đã cho là: \[ f(t) = \frac{200}{1 + 4e^{-t}} \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm phân thức: \[ f'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{200}{1 + 4e^{-t}} \right) \] \[ f'(t) = 200 \cdot \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{1 + 4e^{-t}} \right) \] \[ f'(t) = 200 \cdot \left( -\frac{1}{(1 + 4e^{-t})^2} \cdot \frac{d}{dt}(1 + 4e^{-t}) \right) \] \[ f'(t) = 200 \cdot \left( -\frac{1}{(1 + 4e^{-t})^2} \cdot (-4e^{-t}) \right) \] \[ f'(t) = 200 \cdot \frac{4e^{-t}}{(1 + 4e^{-t})^2} \] \[ f'(t) = \frac{800e^{-t}}{(1 + 4e^{-t})^2} \] Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất của \( f'(t) \) Để tìm giá trị lớn nhất của \( f'(t) \), ta cần tìm đạo hàm của \( f'(t) \) và đặt nó bằng 0 để tìm điểm cực đại. Tính đạo hàm của \( f'(t) \): \[ f''(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{800e^{-t}}{(1 + 4e^{-t})^2} \right) \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ f''(t) = 800 \cdot \frac{d}{dt} \left( \frac{e^{-t}}{(1 + 4e^{-t})^2} \right) \] \[ f''(t) = 800 \cdot \left( \frac{(1 + 4e^{-t})^2 \cdot \frac{d}{dt}(e^{-t}) - e^{-t} \cdot \frac{d}{dt}((1 + 4e^{-t})^2)}{(1 + 4e^{-t})^4} \right) \] \[ f''(t) = 800 \cdot \left( \frac{(1 + 4e^{-t})^2 \cdot (-e^{-t}) - e^{-t} \cdot 2(1 + 4e^{-t}) \cdot (-4e^{-t})}{(1 + 4e^{-t})^4} \right) \] \[ f''(t) = 800 \cdot \left( \frac{-e^{-t}(1 + 4e^{-t})^2 + 8e^{-2t}(1 + 4e^{-t})}{(1 + 4e^{-t})^4} \right) \] \[ f''(t) = 800 \cdot \left( \frac{-e^{-t}(1 + 4e^{-t}) + 8e^{-2t}}{(1 + 4e^{-t})^3} \right) \] \[ f''(t) = 800 \cdot \left( \frac{-e^{-t} - 4e^{-2t} + 8e^{-2t}}{(1 + 4e^{-t})^3} \right) \] \[ f''(t) = 800 \cdot \left( \frac{-e^{-t} + 4e^{-2t}}{(1 + 4e^{-t})^3} \right) \] \[ f''(t) = 800 \cdot \left( \frac{e^{-t}(-1 + 4e^{-t})}{(1 + 4e^{-t})^3} \right) \] Đặt \( f''(t) = 0 \): \[ \frac{e^{-t}(-1 + 4e^{-t})}{(1 + 4e^{-t})^3} = 0 \] \[ e^{-t}(-1 + 4e^{-t}) = 0 \] Vì \( e^{-t} \neq 0 \), ta có: \[ -1 + 4e^{-t} = 0 \] \[ 4e^{-t} = 1 \] \[ e^{-t} = \frac{1}{4} \] \[ -t = \ln \left( \frac{1}{4} \right) \] \[ t = -\ln \left( \frac{1}{4} \right) \] \[ t = \ln 4 \] Vậy sau khoảng thời gian \( t = \ln 4 \) tháng, tốc độ tăng trưởng của dân số tỉnh A là lớn nhất.