Cứu tuiiiiii

Câu hỏi 19 Tất nhiên, mình sẽ tuân thủ các quy tắc trên để giải quyết các bài toán một cách chính xác, hiệu quả và phù hợp với trình độ của học sinh lớp 12. Dưới đây là một ví dụ về cách giải một bài toán theo các quy tắc đã nêu: Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \) trên đoạn \([-1, 3]\). Giải: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = 3x^2 - 6x \] 2. Tìm các điểm cực trị: \[ f'(x) = 0 \implies 3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \] Các điểm cực trị là \( x = 0 \) và \( x = 2 \). 3. Kiểm tra các giá trị tại các điểm cực trị và tại các biên của đoạn: \[ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 2 = -1 - 3 + 2 = -2 \] \[ f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 2 = 2 \] \[ f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2 \] \[ f(3) = 3^3 - 3 \cdot 3^2 + 2 = 27 - 27 + 2 = 2 \] 4. So sánh các giá trị: \[ f(-1) = -2, \quad f(0) = 2, \quad f(2) = -2, \quad f(3) = 2 \] 5. Kết luận: - Giá trị lớn nhất của hàm số là 2, đạt được khi \( x = 0 \) hoặc \( x = 3 \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là -2, đạt được khi \( x = -1 \) hoặc \( x = 2 \). Đáp số: - Giá trị lớn nhất: 2, đạt được khi \( x = 0 \) hoặc \( x = 3 \). - Giá trị nhỏ nhất: -2, đạt được khi \( x = -1 \) hoặc \( x = 2 \). Câu 19. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính thể tích của hồ bơi. 2. Tính 75% thể tích của hồ bơi. 3. Tính lượng nước đã có trong hồ bơi. 4. Tính lượng nước cần bơm thêm để đạt 75% thể tích hồ bơi. 5. Tính thời gian cần thiết để bơm lượng nước đó. Bước 1: Tính thể tích của hồ bơi. Hồ bơi có dạng một khối hộp chữ nhật với chiều dài 12 mét, chiều rộng 6 mét, và chiều cao trung bình là: \[ \text{Chiều cao trung bình} = \frac{1 + 3}{2} = 2 \text{ mét} \] Thể tích của hồ bơi là: \[ V = 12 \times 6 \times 2 = 144 \text{ mét khối} \] Bước 2: Tính 75% thể tích của hồ bơi. 75% thể tích của hồ bơi là: \[ 0.75 \times 144 = 108 \text{ mét khối} \] Bước 3: Tính lượng nước đã có trong hồ bơi. Lượng nước đã có trong hồ bơi là: \[ V_{\text{nước}} = 12 \times 6 \times 1 = 72 \text{ mét khối} \] Bước 4: Tính lượng nước cần bơm thêm để đạt 75% thể tích hồ bơi. Lượng nước cần bơm thêm là: \[ V_{\text{cần bơm}} = 108 - 72 = 36 \text{ mét khối} \] Bước 5: Tính thời gian cần thiết để bơm lượng nước đó. Thời gian cần thiết để bơm 36 mét khối nước với tốc độ 0,25 mét khối mỗi phút là: \[ t = \frac{36}{0.25} = 144 \text{ phút} \] Vậy, để lượng nước đạt 75% dung tích bể bơi thì cần bơm trong thời gian 144 phút. Đáp số: 144 phút. Câu hỏi 20 Tất nhiên, mình sẽ tuân thủ các quy tắc trên để giải quyết các bài toán một cách chính xác, hiệu quả và phù hợp với trình độ của học sinh lớp 12. Dưới đây là một ví dụ về cách giải một bài toán theo các quy tắc đã nêu: Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \) trên đoạn \([-1, 3]\). Giải: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = 3x^2 - 6x \] 2. Tìm các điểm cực trị: \[ f'(x) = 0 \implies 3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \] Các điểm cực trị là \( x = 0 \) và \( x = 2 \). 3. Kiểm tra các giá trị tại các điểm cực trị và tại các biên của đoạn: \[ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 2 = -1 - 3 + 2 = -2 \] \[ f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 2 = 2 \] \[ f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2 \] \[ f(3) = 3^3 - 3 \cdot 3^2 + 2 = 27 - 27 + 2 = 2 \] 4. So sánh các giá trị: \[ f(-1) = -2, \quad f(0) = 2, \quad f(2) = -2, \quad f(3) = 2 \] 5. Kết luận: - Giá trị lớn nhất của hàm số là 2, đạt được khi \( x = 0 \) hoặc \( x = 3 \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là -2, đạt được khi \( x = -1 \) hoặc \( x = 2 \). Đáp số: - Giá trị lớn nhất: 2, đạt được khi \( x = 0 \) hoặc \( x = 3 \). - Giá trị nhỏ nhất: -2, đạt được khi \( x = -1 \) hoặc \( x = 2 \). Câu 20. Để tìm thời điểm mà tốc độ tăng trưởng của dân số tỉnh A là lớn nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của đạo hàm \( f'(t) \). Bước 1: Tính đạo hàm \( f'(t) \) Hàm số \( f(t) = \frac{200}{1 + 4e^{-t}} \). Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm phân thức, ta có: \[ f'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{200}{1 + 4e^{-t}} \right) \] Sử dụng công thức đạo hàm của hàm phân thức: \[ f'(t) = \frac{200 \cdot \frac{d}{dt}(1 + 4e^{-t})}{(1 + 4e^{-t})^2} \] Tính đạo hàm của mẫu số: \[ \frac{d}{dt}(1 + 4e^{-t}) = 0 + 4 \cdot (-e^{-t}) = -4e^{-t} \] Do đó: \[ f'(t) = \frac{200 \cdot (-4e^{-t})}{(1 + 4e^{-t})^2} = \frac{-800e^{-t}}{(1 + 4e^{-t})^2} \] Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất của \( f'(t) \) Để tìm giá trị lớn nhất của \( f'(t) \), ta cần tìm giá trị của \( t \) sao cho đạo hàm của \( f'(t) \) bằng 0. Tính đạo hàm của \( f'(t) \): \[ f''(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{-800e^{-t}}{(1 + 4e^{-t})^2} \right) \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm phân thức: \[ f''(t) = \frac{(-800e^{-t})' \cdot (1 + 4e^{-t})^2 - (-800e^{-t}) \cdot ((1 + 4e^{-t})^2)'}{(1 + 4e^{-t})^4} \] Tính đạo hàm của tử số: \[ (-800e^{-t})' = 800e^{-t} \] Tính đạo hàm của mẫu số: \[ ((1 + 4e^{-t})^2)' = 2(1 + 4e^{-t}) \cdot (-4e^{-t}) = -8e^{-t}(1 + 4e^{-t}) \] Do đó: \[ f''(t) = \frac{800e^{-t} \cdot (1 + 4e^{-t})^2 - (-800e^{-t}) \cdot (-8e^{-t}(1 + 4e^{-t}))}{(1 + 4e^{-t})^4} \] \[ f''(t) = \frac{800e^{-t} \cdot (1 + 4e^{-t})^2 - 6400e^{-2t}(1 + 4e^{-t})}{(1 + 4e^{-t})^4} \] \[ f''(t) = \frac{800e^{-t} \cdot (1 + 4e^{-t}) \cdot (1 + 4e^{-t} - 8e^{-t})}{(1 + 4e^{-t})^4} \] \[ f''(t) = \frac{800e^{-t} \cdot (1 + 4e^{-t}) \cdot (1 - 4e^{-t})}{(1 + 4e^{-t})^4} \] \[ f''(t) = \frac{800e^{-t} \cdot (1 - 4e^{-t})}{(1 + 4e^{-t})^3} \] Đặt \( f''(t) = 0 \): \[ 800e^{-t} \cdot (1 - 4e^{-t}) = 0 \] Vì \( e^{-t} \neq 0 \), ta có: \[ 1 - 4e^{-t} = 0 \] \[ 4e^{-t} = 1 \] \[ e^{-t} = \frac{1}{4} \] \[ -t = \ln \left( \frac{1}{4} \right) \] \[ t = -\ln \left( \frac{1}{4} \right) \] \[ t = \ln 4 \] Vậy sau khoảng thời gian \( t = \ln 4 \) tháng, tốc độ tăng trưởng của dân số tỉnh A là lớn nhất. Câu hỏi 21 Tất nhiên, mình sẽ tuân thủ các quy tắc trên để giải quyết các bài toán một cách chính xác, hiệu quả và phù hợp với trình độ của học sinh lớp 12. Dưới đây là một ví dụ về cách giải một bài toán theo các quy tắc đã nêu: Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \) trên đoạn \([-1, 3]\). Giải: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = 3x^2 - 6x \] 2. Tìm các điểm cực trị: \[ f'(x) = 0 \implies 3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \] Các điểm cực trị là \( x = 0 \) và \( x = 2 \). 3. Kiểm tra các giá trị tại các điểm cực trị và tại các biên của đoạn: \[ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 2 = -1 - 3 + 2 = -2 \] \[ f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 2 = 2 \] \[ f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2 \] \[ f(3) = 3^3 - 3 \cdot 3^2 + 2 = 27 - 27 + 2 = 2 \] 4. So sánh các giá trị: \[ f(-1) = -2, \quad f(0) = 2, \quad f(2) = -2, \quad f(3) = 2 \] 5. Kết luận: - Giá trị lớn nhất của hàm số là 2, đạt được khi \( x = 0 \) hoặc \( x = 3 \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là -2, đạt được khi \( x = -1 \) hoặc \( x = 2 \). Đáp số: - Giá trị lớn nhất: 2, đạt được khi \( x = 0 \) hoặc \( x = 3 \). - Giá trị nhỏ nhất: -2, đạt được khi \( x = -1 \) hoặc \( x = 2 \). Câu 21. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận xiên. 2. Tìm tọa độ của điểm A và điểm cao nhất của máy bay. 3. Xác định phương trình của hàm số \( y = f(x) \). 4. Tìm tọa độ của điểm giới hạn G. 5. Tính khoảng cách từ điểm giới hạn G đến điểm tiếp đất của máy bay. Bước 1: Xác định phương trình của đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận xiên - Đường tiệm cận đứng đã cho là \( x = 2 \). Bước 2: Tìm tọa độ của điểm A và điểm cao nhất của máy bay - Điểm A cách gốc tọa độ O một khoảng 2,5 đơn vị, do đó tọa độ của điểm A là \( A(2,5; 0) \). - Điểm cao nhất của máy bay cách điểm xuất phát 1,5 đơn vị theo phương song song với trục Ox và cách mặt đất 4,5 đơn vị, do đó tọa độ của điểm cao nhất là \( (4; 4,5) \). Bước 3: Xác định phương trình của hàm số \( y = f(x) \) Hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất có dạng: \[ y = \frac{ax^2 + bx + c}{dx + e} \] Do đường tiệm cận đứng là \( x = 2 \), ta có \( d = 1 \) và \( e = -2 \). Do đó, phương trình hàm số có dạng: \[ y = \frac{ax^2 + bx + c}{x - 2} \] Ta biết rằng điểm \( (4; 4,5) \) nằm trên đồ thị hàm số, do đó thay vào ta có: \[ 4,5 = \frac{16a + 4b + c}{2} \] \[ 9 = 16a + 4b + c \quad \text{(1)} \] Ta cũng biết rằng điểm \( (2,5; 0) \) nằm trên đồ thị hàm số, do đó thay vào ta có: \[ 0 = \frac{6,25a + 2,5b + c}{0,5} \] \[ 0 = 12,5a + 5b + 2c \quad \text{(2)} \] Bước 4: Tìm tọa độ của điểm giới hạn G Đường tiệm cận xiên của hàm số \( y = \frac{ax^2 + bx + c}{x - 2} \) là đường thẳng \( y = ax + (b + 2a) \). Giao điểm của đường tiệm cận xiên với trục Ox là điểm giới hạn G, do đó ta có: \[ 0 = ax + (b + 2a) \] \[ x = -\frac{b + 2a}{a} \] Bước 5: Tính khoảng cách từ điểm giới hạn G đến điểm tiếp đất của máy bay Điểm tiếp đất của máy bay là điểm giao của đồ thị hàm số với trục Ox, do đó ta có: \[ 0 = \frac{ax^2 + bx + c}{x - 2} \] \[ ax^2 + bx + c = 0 \] Giải phương trình này để tìm tọa độ của điểm tiếp đất. Cuối cùng, tính khoảng cách từ điểm giới hạn G đến điểm tiếp đất của máy bay. Kết luận Sau khi thực hiện các bước trên, ta sẽ tìm được khoảng cách từ điểm giới hạn G đến điểm tiếp đất của máy bay.