Tìm tất cả các khoảng sau

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số \( g(x) \). 2. Xác định các khoảng sao cho \( g'(x) > 0 \). 3. Tìm đạo hàm thứ hai của hàm số \( g(x) \). 4. Xác định các khoảng sao cho \( g''(x) > 0 \). Giả sử hàm số \( g(x) \) đã cho là \( g(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \( g(x) \). \[ g'(x) = \frac{d}{dx} (x^3 - 3x^2 + 2x) = 3x^2 - 6x + 2 \] Bước 2: Xác định các khoảng sao cho \( g'(x) > 0 \). Để tìm các khoảng sao cho \( g'(x) > 0 \), chúng ta cần giải bất phương trình: \[ 3x^2 - 6x + 2 > 0 \] Ta tìm nghiệm của phương trình \( 3x^2 - 6x + 2 = 0 \): \[ x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x_1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}, \quad x_2 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \] Phương trình \( 3x^2 - 6x + 2 = 0 \) có hai nghiệm phân biệt, do đó biểu thức \( 3x^2 - 6x + 2 \) sẽ dương ở các khoảng: \[ (-\infty, 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (1 + \frac{\sqrt{3}}{3}, +\infty) \] Bước 3: Tìm đạo hàm thứ hai của hàm số \( g(x) \). \[ g''(x) = \frac{d}{dx} (3x^2 - 6x + 2) = 6x - 6 \] Bước 4: Xác định các khoảng sao cho \( g''(x) > 0 \). Để tìm các khoảng sao cho \( g''(x) > 0 \), chúng ta cần giải bất phương trình: \[ 6x - 6 > 0 \] \[ 6x > 6 \] \[ x > 1 \] Vậy các khoảng sao cho \( g''(x) > 0 \) là: \[ (1, +\infty) \] Cuối cùng, chúng ta cần tìm các khoảng sao cho cả \( g'(x) > 0 \) và \( g''(x) > 0 \). Từ các kết quả trên, ta thấy rằng: - \( g'(x) > 0 \) trong các khoảng \( (-\infty, 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (1 + \frac{\sqrt{3}}{3}, +\infty) \) - \( g''(x) > 0 \) trong khoảng \( (1, +\infty) \) Do đó, các khoảng sao cho cả \( g'(x) > 0 \) và \( g''(x) > 0 \) là: \[ (1 + \frac{\sqrt{3}}{3}, +\infty) \] Đáp số: \( (1 + \frac{\sqrt{3}}{3}, +\infty) \)