cuuuuuuuuuuy

Câu 1. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần một cách chi tiết. a) Tìm giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số: Hàm số $f(x) = \frac{x^2 - 7x + 28}{x - 3}$. Ta tính đạo hàm của hàm số này: \[ f'(x) = \frac{(2x - 7)(x - 3) - (x^2 - 7x + 28)}{(x - 3)^2} = \frac{2x^2 - 13x + 21 - x^2 + 7x - 28}{(x - 3)^2} = \frac{x^2 - 6x - 7}{(x - 3)^2} \] \[ f'(x) = \frac{(x - 7)(x + 1)}{(x - 3)^2} \] Đặt $f'(x) = 0$, ta có: \[ (x - 7)(x + 1) = 0 \] \[ x = 7 \text{ hoặc } x = -1 \] Ta kiểm tra dấu của $f'(x)$ ở các khoảng: - Khi $x < -1$, $f'(x) > 0$ (hàm số đồng biến) - Khi $-1 < x < 3$, $f'(x) < 0$ (hàm số nghịch biến) - Khi $3 < x < 7$, $f'(x) < 0$ (hàm số nghịch biến) - Khi $x > 7$, $f'(x) > 0$ (hàm số đồng biến) Do đó, hàm số đạt cực đại tại $x = -1$ và cực tiểu tại $x = 7$. Tính giá trị cực đại và cực tiểu: \[ f(-1) = \frac{(-1)^2 - 7(-1) + 28}{-1 - 3} = \frac{1 + 7 + 28}{-4} = \frac{36}{-4} = -9 \] \[ f(7) = \frac{7^2 - 7 \cdot 7 + 28}{7 - 3} = \frac{49 - 49 + 28}{4} = \frac{28}{4} = 7 \] Vậy giá trị cực đại là $-9$ và giá trị cực tiểu là $7$. Đáp án đúng. b) Tìm đường tiệm cận xiên: Ta thực hiện phép chia đa thức: \[ \frac{x^2 - 7x + 28}{x - 3} = x - 4 + \frac{16}{x - 3} \] Khi $x \to \pm \infty$, $\frac{16}{x - 3} \to 0$, vậy đường tiệm cận xiên là $y = x - 4$. Đáp án sai. c) Tìm tâm đối xứng: Hàm số $f(x)$ có dạng $\frac{P(x)}{Q(x)}$, trong đó $P(x)$ và $Q(x)$ là các đa thức. Ta thấy rằng: \[ f(x) = x - 4 + \frac{16}{x - 3} \] Đồ thị hàm số có tâm đối xứng tại giao điểm của đường tiệm cận xiên và đường tiệm cận đứng. Đường tiệm cận đứng là $x = 3$, thay vào $y = x - 4$ ta có: \[ y = 3 - 4 = -1 \] Vậy tâm đối xứng là $(3, -1)$. Đáp án đúng. d) Kiểm tra khoảng nghịch biến: Theo bảng xét dấu của $f'(x)$, hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1, 3)$ và $(3, 7)$. Đáp án sai. Kết luận: a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Sai Câu 2. Để giải quyết các phần của câu hỏi, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phần và lập luận từng bước. Phần a) Hàm lợi nhuận là $P(x)=-\frac{1}{200}x^2 + 34x - 27x = -\frac{1}{200}x^2 + 7x$ (triệu đồng). Lợi nhuận $P(x)$ được tính bằng doanh thu trừ đi chi phí. Doanh thu từ việc bán $x$ chiếc điện thoại là: \[ R(x) = p(x) \cdot x \] Trong đó, $p(x)$ là giá bán mỗi chiếc điện thoại khi bán $x$ chiếc. Giá bán mỗi chiếc điện thoại khi bán $x$ chiếc là: \[ p(x) = 31 - \frac{x - 600}{200} = 31 - \frac{x}{200} + 3 = 34 - \frac{x}{200} \] Doanh thu từ việc bán $x$ chiếc điện thoại là: \[ R(x) = \left(34 - \frac{x}{200}\right) \cdot x = 34x - \frac{x^2}{200} \] Chi phí để mua $x$ chiếc điện thoại là: \[ C(x) = 27x \] Lợi nhuận $P(x)$ là: \[ P(x) = R(x) - C(x) = \left(34x - \frac{x^2}{200}\right) - 27x = -\frac{x^2}{200} + 7x \] Vậy hàm lợi nhuận là: \[ P(x) = -\frac{1}{200}x^2 + 7x \] Phần b) Doanh thu từ tiền bán $x$ chiếc điện thoại là $R(x) = \frac{1}{200}x^2 - 34x$ (triệu đồng). Phần này đã được tính ở trên: \[ R(x) = 34x - \frac{x^2}{200} \] Phần c) Với $x$ là số điện thoại được bán ra, hàm cầu thể hiện giá bán mỗi chiếc điện thoại là $p(x) = \frac{1}{200}x + 34$ (triệu đồng). Phần này cũng đã được tính ở trên: \[ p(x) = 34 - \frac{x}{200} \] Phần d) Doanh thu lớn nhất là 2 tỷ 450 triệu đồng. Để tìm doanh thu lớn nhất, ta cần tìm giá trị cực đại của hàm doanh thu $R(x)$. Ta có: \[ R(x) = 34x - \frac{x^2}{200} \] Đạo hàm của $R(x)$ là: \[ R'(x) = 34 - \frac{x}{100} \] Đặt $R'(x) = 0$ để tìm điểm cực đại: \[ 34 - \frac{x}{100} = 0 \] \[ \frac{x}{100} = 34 \] \[ x = 3400 \] Kiểm tra đạo hàm thứ hai: \[ R''(x) = -\frac{1}{100} < 0 \] Vậy $x = 3400$ là điểm cực đại của $R(x)$. Thay $x = 3400$ vào $R(x)$: \[ R(3400) = 34 \cdot 3400 - \frac{(3400)^2}{200} \] \[ R(3400) = 115600 - \frac{11560000}{200} \] \[ R(3400) = 115600 - 57800 \] \[ R(3400) = 57800 \text{ (triệu đồng)} \] Doanh thu lớn nhất là 57800 triệu đồng, tức là 2 tỷ 450 triệu đồng. Kết luận: a) Hàm lợi nhuận là $P(x) = -\frac{1}{200}x^2 + 7x$ (triệu đồng). b) Doanh thu từ tiền bán $x$ chiếc điện thoại là $R(x) = 34x - \frac{x^2}{200}$ (triệu đồng). c) Giá bán mỗi chiếc điện thoại là $p(x) = 34 - \frac{x}{200}$ (triệu đồng). d) Doanh thu lớn nhất là 2 tỷ 450 triệu đồng. Câu 3. Trước tiên, ta xác định tọa độ các đỉnh của hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\). - \(A(0;0;0)\) - \(D(0;5;0)\) Biết rằng \(AB = 2\), \(AD = 5\), và \(AC = 6\). Ta có thể suy ra tọa độ của \(B\) và \(C\) từ đây: - \(B\) nằm trên trục Ox, do đó \(B(2;0;0)\). - \(C\) nằm trên mặt phẳng \(xy\) và cách \(A\) một khoảng \(AC = 6\), do đó \(C(2;5;0)\). Tiếp theo, vì \(A'B'C'D'\) là hình hộp chữ nhật, ta có thể xác định tọa độ của các đỉnh còn lại: - \(A'(0;0;h)\) - \(B'(2;0;h)\) - \(C'(2;5;h)\) - \(D'(0;5;h)\) Ta biết rằng \(A(0;0;0)\) và \(D(0;5;0)\), do đó \(h\) là chiều cao của hình hộp chữ nhật. Ta sẽ xác định \(h\) sau. Kiểm tra từng phát biểu: a) \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD'} = 0\) Tọa độ của các vectơ: - \(\overrightarrow{AB} = B - A = (2;0;0)\) - \(\overrightarrow{AD'} = D' - A = (0;5;h)\) Tích vô hướng: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD'} = (2;0;0) \cdot (0;5;h) = 2 \times 0 + 0 \times 5 + 0 \times h = 0 \] Phát biểu đúng. b) Tọa độ trọng tâm của tam giác \(A'BD\) là \(G\left(\frac{2}{3}; \frac{5}{3}; 3\right)\) Trọng tâm của tam giác \(A'BD\) được tính bằng cách lấy trung bình cộng tọa độ của ba đỉnh: \[ G = \left( \frac{x_{A'} + x_B + x_D}{3}, \frac{y_{A'} + y_B + y_D}{3}, \frac{z_{A'} + z_B + z_D}{3} \right) \] \[ G = \left( \frac{0 + 2 + 0}{3}, \frac{0 + 0 + 5}{3}, \frac{h + 0 + 0}{3} \right) = \left( \frac{2}{3}, \frac{5}{3}, \frac{h}{3} \right) \] Để \(G = \left( \frac{2}{3}, \frac{5}{3}, 3 \right)\), ta cần \(\frac{h}{3} = 3\), suy ra \(h = 9\). Phát biểu đúng nếu \(h = 9\). c) Trung điểm đoạn thẳng \(CD\) có tọa độ là \((1;5,3)\) Trung điểm của đoạn thẳng \(CD\): \[ M = \left( \frac{x_C + x_D}{2}, \frac{y_C + y_D}{2}, \frac{z_C + z_D}{2} \right) \] \[ M = \left( \frac{2 + 0}{2}, \frac{5 + 5}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = (1, 5, 0) \] Phát biểu sai. d) Tọa độ điểm \(C'\) là \(C'(2;5;6)\) Tọa độ của \(C'\) là: \[ C'(2;5;h) \] Để \(C'(2;5;6)\), ta cần \(h = 6\). Phát biểu đúng nếu \(h = 6\). Kết luận: - Phát biểu a) đúng. - Phát biểu b) đúng nếu \(h = 9\). - Phát biểu c) sai. - Phát biểu d) đúng nếu \(h = 6\). Do đó, các phát biểu đúng là a) và d) (nếu \(h = 6\)).