Sossssssssssssssss

Câu 1: Để tìm giá trị của biểu thức \( A = 2a + b \), ta cần xác định các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1 \). Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 9x - 1) = 3x^2 - 12x + 9 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ f'(x) = 0 \] \[ 3x^2 - 12x + 9 = 0 \] Chia cả hai vế cho 3: \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] Phương trình này có dạng \( ax^2 + bx + c = 0 \). Ta sử dụng công thức nghiệm để giải: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm 2}{2} \] \[ x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \] Bước 3: Xác định tính chất của các điểm cực trị: - Để xác định tính chất của các điểm cực trị, ta tính đạo hàm bậc hai của hàm số: \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 12x + 9) = 6x - 12 \] - Kiểm tra dấu của đạo hàm bậc hai tại các điểm \( x = 1 \) và \( x = 3 \): \[ f''(1) = 6(1) - 12 = -6 < 0 \] Do đó, \( x = 1 \) là điểm cực đại. \[ f''(3) = 6(3) - 12 = 6 > 0 \] Do đó, \( x = 3 \) là điểm cực tiểu. Bước 4: Xác định giá trị của biểu thức \( A = 2a + b \): - Điểm cực đại \( x = a = 1 \) - Điểm cực tiểu \( x = b = 3 \) Vậy: \[ A = 2a + b = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5 \] Đáp số: \( A = 5 \) Câu 2: Để tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số \( f(x) = \frac{2x + 5}{-x + 3} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số \( f(x) = \frac{2x + 5}{-x + 3} \): - Ta viết lại hàm số dưới dạng \( y = \frac{2x + 5}{-x + 3} \). - Tìm giao điểm của đường thẳng \( y = x \) và đường thẳng \( y = -x \) (đường thẳng đi qua tâm đối xứng). 2. Tìm giao điểm của đường thẳng \( y = x \) và đường thẳng \( y = -x \): - Giao điểm của hai đường thẳng này là tâm đối xứng của đồ thị hàm số. - Ta thấy rằng tâm đối xứng của đồ thị hàm số \( f(x) = \frac{2x + 5}{-x + 3} \) là \( I(3; -1) \). 3. Tính giá trị của biểu thức \( B = -4a - b \): - Với \( a = 3 \) và \( b = -1 \), ta thay vào biểu thức \( B \): \[ B = -4a - b = -4 \cdot 3 - (-1) = -12 + 1 = -11 \] Vậy giá trị của biểu thức \( B \) là \(-11\). Đáp số: \( B = -11 \). Câu 3: Để tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số \( f(x) = 5x - 1 + \frac{0}{x-1} \), ta cần xác định điểm \( I(a; b) \) sao cho mọi điểm \( M(x; y) \) trên đồ thị đều có điểm đối xứng \( M'(2a-x; 2b-y) \) cũng nằm trên đồ thị. Trước tiên, ta nhận thấy rằng: \[ f(x) = 5x - 1 + \frac{0}{x-1} = 5x - 1 \] Hàm số \( f(x) = 5x - 1 \) là một hàm tuyến tính, và đồ thị của nó là một đường thẳng. Tâm đối xứng của một đường thẳng là bất kỳ điểm nào trên đường thẳng đó. Tuy nhiên, trong ngữ cảnh này, ta thường chọn tâm đối xứng là giao điểm của đường thẳng với trục tung (nếu có). Để tìm giao điểm của đường thẳng với trục tung, ta đặt \( x = 0 \): \[ f(0) = 5 \cdot 0 - 1 = -1 \] Vậy tâm đối xứng \( I(a; b) \) của đồ thị hàm số \( f(x) = 5x - 1 \) là \( I(0; -1) \). Bây giờ, ta tính giá trị của biểu thức \( C = a + 3b \): \[ C = 0 + 3(-1) = -3 \] Vậy giá trị của biểu thức \( C \) là: \[ \boxed{-3} \] Câu 4: Để tìm vận tốc tức thời lớn nhất của chất điểm trong 18 giây đầu tiên, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm công thức của vận tốc tức thời: Vận tốc tức thời \( v(t) \) của chất điểm là đạo hàm của hàm chuyển động \( s(t) \). Ta có: \[ s(t) = -t^3 + 18t^2 + t + 3 \] Tính đạo hàm: \[ v(t) = s'(t) = -3t^2 + 36t + 1 \] 2. Tìm thời điểm mà vận tốc tức thời đạt cực đại: Để tìm thời điểm mà vận tốc tức thời đạt cực đại, ta cần tìm đạo hàm của \( v(t) \) và đặt nó bằng 0: \[ v'(t) = (-3t^2 + 36t + 1)' = -6t + 36 \] Đặt \( v'(t) = 0 \): \[ -6t + 36 = 0 \] \[ t = 6 \] 3. Kiểm tra tính chất của đạo hàm tại thời điểm \( t = 6 \): Ta kiểm tra đạo hàm thứ hai của \( v(t) \): \[ v''(t) = (-6t + 36)' = -6 \] Vì \( v''(t) = -6 < 0 \), nên \( v(t) \) đạt cực đại tại \( t = 6 \). 4. Tính vận tốc tức thời tại thời điểm \( t = 6 \): Thay \( t = 6 \) vào công thức của \( v(t) \): \[ v(6) = -3(6)^2 + 36(6) + 1 \] \[ v(6) = -3(36) + 216 + 1 \] \[ v(6) = -108 + 216 + 1 \] \[ v(6) = 109 \] Vậy vận tốc tức thời lớn nhất của chất điểm trong 18 giây đầu tiên là 109 mét/giây. Đáp số: 109 m/s. Câu 5: Để tìm vận tốc lớn nhất của vật trong khoảng thời gian 10 giây, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm công thức của vận tốc: Vận tốc tức thời của vật là đạo hàm của quãng đường theo thời gian. Do đó, ta tính đạo hàm của \( s \): \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = -6t^2 + 48t + 9 \] 2. Tìm cực đại của vận tốc: Để tìm giá trị lớn nhất của vận tốc trong khoảng thời gian từ 0 đến 10 giây, ta cần tìm điểm cực đại của hàm số \( v(t) \). Ta tính đạo hàm của \( v(t) \): \[ v'(t) = \frac{d}{dt}(-6t^2 + 48t + 9) = -12t + 48 \] Đặt \( v'(t) = 0 \) để tìm điểm cực đại: \[ -12t + 48 = 0 \implies t = 4 \] 3. Kiểm tra giá trị của vận tốc tại các điểm biên và điểm cực đại: - Tại \( t = 0 \): \[ v(0) = -6(0)^2 + 48(0) + 9 = 9 \] - Tại \( t = 4 \): \[ v(4) = -6(4)^2 + 48(4) + 9 = -6(16) + 192 + 9 = -96 + 192 + 9 = 105 \] - Tại \( t = 10 \): \[ v(10) = -6(10)^2 + 48(10) + 9 = -6(100) + 480 + 9 = -600 + 480 + 9 = -111 \] 4. So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất: Các giá trị của vận tốc tại các điểm đã kiểm tra là: - \( v(0) = 9 \) - \( v(4) = 105 \) - \( v(10) = -111 \) Trong các giá trị này, giá trị lớn nhất là 105. Kết luận: Vận tốc lớn nhất của vật trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, đạt được là 105 m/s, xảy ra khi \( t = 4 \) giây. Câu 6: Để tìm vận tốc lớn nhất của chuyển động trong khoảng thời gian 8 giây đầu tiên, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm công thức của vận tốc: Vận tốc \(v\) là đạo hàm của quãng đường \(s\) theo thời gian \(t\). Do đó: \[ v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(-t^3 + 6t^2 + 17t) \] Ta tính đạo hàm: \[ v = -3t^2 + 12t + 17 \] 2. Tìm thời điểm mà vận tốc đạt giá trị lớn nhất: Để tìm giá trị lớn nhất của \(v\), ta cần tìm đạo hàm của \(v\) và đặt nó bằng 0 để tìm các điểm cực trị: \[ \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(-3t^2 + 12t + 17) = -6t + 12 \] Đặt đạo hàm này bằng 0: \[ -6t + 12 = 0 \implies t = 2 \] 3. Kiểm tra tính chất của điểm cực trị: Để kiểm tra xem \(t = 2\) là điểm cực đại hay cực tiểu, ta tính đạo hàm bậc hai của \(v\): \[ \frac{d^2v}{dt^2} = \frac{d}{dt}(-6t + 12) = -6 \] Vì \(\frac{d^2v}{dt^2} < 0\), nên \(t = 2\) là điểm cực đại của \(v\). 4. Tính giá trị của vận tốc tại \(t = 2\): Thay \(t = 2\) vào công thức của \(v\): \[ v(2) = -3(2)^2 + 12(2) + 17 = -3(4) + 24 + 17 = -12 + 24 + 17 = 29 \] 5. Kiểm tra biên của khoảng thời gian: Ta cũng cần kiểm tra giá trị của \(v\) tại các biên của khoảng thời gian 0 đến 8 giây: \[ v(0) = -3(0)^2 + 12(0) + 17 = 17 \] \[ v(8) = -3(8)^2 + 12(8) + 17 = -3(64) + 96 + 17 = -192 + 96 + 17 = -79 \] So sánh các giá trị: - \(v(2) = 29\) - \(v(0) = 17\) - \(v(8) = -79\) Như vậy, giá trị lớn nhất của vận tốc trong khoảng thời gian 8 giây đầu tiên là 29 m/s, đạt được khi \(t = 2\) giây. Đáp số: 29 m/s Câu 7: Để tìm vận tốc lớn nhất của chuyển động, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm phương trình vận tốc: Vận tốc \( v(t) \) là đạo hàm của phương trình chuyển động \( S(t) \). \[ S(t) = -t^3 + 3t^2 - 2 \] Ta tính đạo hàm của \( S(t) \): \[ v(t) = \frac{dS}{dt} = -3t^2 + 6t \] 2. Tìm thời điểm mà vận tốc đạt cực đại: Để tìm thời điểm mà vận tốc đạt cực đại, ta cần tìm đạo hàm của \( v(t) \) và đặt nó bằng 0. \[ a(t) = \frac{dv}{dt} = -6t + 6 \] Đặt \( a(t) = 0 \): \[ -6t + 6 = 0 \implies t = 1 \] 3. Kiểm tra tính chất của đạo hàm thứ hai: Để kiểm tra xem \( t = 1 \) là điểm cực đại hay cực tiểu, ta tính đạo hàm thứ hai của \( v(t) \): \[ \frac{d^2v}{dt^2} = -6 \] Vì đạo hàm thứ hai là hằng số âm (-6), nên \( t = 1 \) là điểm cực đại của \( v(t) \). 4. Tính vận tốc tại thời điểm \( t = 1 \): \[ v(1) = -3(1)^2 + 6(1) = -3 + 6 = 3 \text{ m/s} \] Vậy vận tốc lớn nhất của chuyển động là 3 m/s, đạt được khi \( t = 1 \) giây. Đáp số: Vận tốc lớn nhất là 3 m/s, đạt được khi \( t = 1 \) giây. Câu 8: Để tìm giá trị của \(a\) trong đường tiệm cận ngang của hàm số \(y = f(t)\), ta cần tính giới hạn của \(f(t)\) khi \(t\) tiến đến vô cùng. Hàm số đã cho là: \[ f(t) = \frac{26t + 10}{t + 5} \] Ta tính giới hạn của \(f(t)\) khi \(t\) tiến đến vô cùng: \[ \lim_{t \to +\infty} f(t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{26t + 10}{t + 5} \] Chia cả tử và mẫu cho \(t\): \[ \lim_{t \to +\infty} \frac{26t + 10}{t + 5} = \lim_{t \to +\infty} \frac{26 + \frac{10}{t}}{1 + \frac{5}{t}} \] Khi \(t\) tiến đến vô cùng, các phân số \(\frac{10}{t}\) và \(\frac{5}{t}\) sẽ tiến đến 0: \[ \lim_{t \to +\infty} \frac{26 + \frac{10}{t}}{1 + \frac{5}{t}} = \frac{26 + 0}{1 + 0} = 26 \] Vậy đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f(t)\) là \(y = 26\). Do đó, giá trị của \(a\) là: \[ a = 26 \] Đáp số: \(a = 26\) Câu 9: Để tìm số lượng vi khuẩn lớn nhất, chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( N(t) = 1000 + \frac{100t}{1004t^2} \). Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Hàm số \( N(t) \) có dạng phân thức, do đó \( t \neq 0 \). Bước 2: Tìm đạo hàm của \( N(t) \) \[ N'(t) = \frac{d}{dt}\left(1000 + \frac{100t}{1004t^2}\right) \] \[ N'(t) = \frac{d}{dt}\left(1000 + \frac{100}{1004t}\right) \] \[ N'(t) = \frac{d}{dt}\left(1000 + \frac{25}{251t}\right) \] \[ N'(t) = -\frac{25}{251t^2} \] Bước 3: Tìm điểm cực đại - Đặt \( N'(t) = 0 \): \[ -\frac{25}{251t^2} = 0 \] Phương trình này không có nghiệm vì \( t^2 \) luôn dương và không thể làm cho phân số bằng 0. Bước 4: Kiểm tra giới hạn của \( N(t) \) khi \( t \to 0 \) và \( t \to \infty \) - Khi \( t \to 0 \): \[ N(t) \to 1000 + \frac{100 \cdot 0}{1004 \cdot 0^2} = 1000 \] - Khi \( t \to \infty \): \[ N(t) \to 1000 + \frac{100t}{1004t^2} = 1000 + \frac{100}{1004t} \to 1000 \] Bước 5: Kiểm tra giá trị của \( N(t) \) tại các điểm đặc biệt - Ta thấy rằng \( N(t) \) luôn lớn hơn hoặc bằng 1000 và không tăng thêm nữa khi \( t \) tăng lên. Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số \( N(t) \) là 1000, đạt được khi \( t \to 0 \). Đáp số: Số lượng vi khuẩn lớn nhất là 1000 con. Câu 10: Để tìm giá trị lớn nhất của thể tích V của khối hộp chữ nhật không có nắp, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định chiều dài, chiều rộng và chiều cao của khối hộp chữ nhật: - Chiều dài ban đầu của tấm nhôm là 3 dm. - Sau khi cắt bốn góc mỗi cạnh là x dm, chiều dài còn lại là \(3 - 2x\) dm. - Chiều rộng cũng còn lại \(3 - 2x\) dm. - Chiều cao của khối hộp chữ nhật là x dm. 2. Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật: \[ V = \text{chiều dài} \times \text{chiều rộng} \times \text{chiều cao} \] Thay các giá trị vào: \[ V = (3 - 2x) \times (3 - 2x) \times x \] \[ V = (3 - 2x)^2 \times x \] 3. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Để chiều dài và chiều rộng của tấm nhôm sau khi cắt vẫn dương, ta có: \[ 3 - 2x > 0 \implies x < \frac{3}{2} \] - Vì x là độ dài cạnh của hình vuông bị cắt đi, nên x phải lớn hơn 0: \[ x > 0 \] - Kết hợp hai điều kiện trên, ta có: \[ 0 < x < \frac{3}{2} \] 4. Tìm giá trị lớn nhất của V: - Ta có \( V = (3 - 2x)^2 \times x \). - Để tìm giá trị lớn nhất của V, ta có thể sử dụng đạo hàm: \[ V'(x) = \frac{d}{dx} \left[ (3 - 2x)^2 \times x \right] \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích: \[ V'(x) = (3 - 2x)^2 \times 1 + x \times 2(3 - 2x)(-2) \] \[ V'(x) = (3 - 2x)^2 - 4x(3 - 2x) \] \[ V'(x) = (3 - 2x)(3 - 2x - 4x) \] \[ V'(x) = (3 - 2x)(3 - 6x) \] Đặt \( V'(x) = 0 \): \[ (3 - 2x)(3 - 6x) = 0 \] Ta có hai nghiệm: \[ 3 - 2x = 0 \implies x = \frac{3}{2} \] \[ 3 - 6x = 0 \implies x = \frac{1}{2} \] Vì \( x = \frac{3}{2} \) không thỏa mãn điều kiện \( 0 < x < \frac{3}{2} \), ta chỉ xét \( x = \frac{1}{2} \). 5. Kiểm tra giá trị của V tại \( x = \frac{1}{2} \): \[ V\left(\frac{1}{2}\right) = \left(3 - 2 \times \frac{1}{2}\right)^2 \times \frac{1}{2} \] \[ V\left(\frac{1}{2}\right) = (3 - 1)^2 \times \frac{1}{2} \] \[ V\left(\frac{1}{2}\right) = 2^2 \times \frac{1}{2} \] \[ V\left(\frac{1}{2}\right) = 4 \times \frac{1}{2} \] \[ V\left(\frac{1}{2}\right) = 2 \text{ dm}^3 \] Vậy giá trị lớn nhất của thể tích V là 2 dm³, đạt được khi \( x = \frac{1}{2} \). Câu 11: Gọi chiều rộng bể nước là \( x \) (m), \( 0 < x \leq 4 \). Chiều dài bể nước là \( 2x \) (m). Chiều cao bể nước là \( \frac{36}{2x \cdot x} = \frac{18}{x^2} \) (m). Diện tích toàn phần của bể nước là: \[ S = 2x \cdot \frac{18}{x^2} + 2 \cdot 2x \cdot \frac{18}{x^2} + 2x \cdot x = \frac{36}{x} + \frac{72}{x} + 2x^2 = \frac{108}{x} + 2x^2 \] Chi phí vật liệu để xây dựng bể nước là: \[ C = k \left( \frac{108}{x} + 2x^2 \right) \] Trong đó \( k \) là chi phí vật liệu xây dựng mỗi mét vuông diện tích bề mặt. Để tổng chi phí vật liệu là nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \( C \). Xét hàm số \( f(x) = \frac{108}{x} + 2x^2 \) trên khoảng \( (0, 4] \): \[ f'(x) = -\frac{108}{x^2} + 4x \] Đặt \( f'(x) = 0 \): \[ -\frac{108}{x^2} + 4x = 0 \] \[ 4x = \frac{108}{x^2} \] \[ 4x^3 = 108 \] \[ x^3 = 27 \] \[ x = 3 \] Ta kiểm tra các giá trị \( x = 3 \) và \( x = 4 \): - Khi \( x = 3 \): \[ f(3) = \frac{108}{3} + 2 \cdot 3^2 = 36 + 18 = 54 \] - Khi \( x = 4 \): \[ f(4) = \frac{108}{4} + 2 \cdot 4^2 = 27 + 32 = 59 \] Như vậy, giá trị nhỏ nhất của \( f(x) \) là 54, đạt được khi \( x = 3 \). Do đó, chiều cao bể nước là: \[ \frac{18}{3^2} = 2 \text{ (m)} \] Đáp số: Chiều cao bể nước là 2 m.