Câu 30.
Để xác định hàm số nào nghịch biến trên , ta cần kiểm tra đạo hàm của mỗi hàm số. Hàm số nghịch biến trên nếu đạo hàm của nó luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0 trên toàn bộ tập số thực.
Ta lần lượt tính đạo hàm của các hàm số đã cho:
1. Hàm số :
Đạo hàm này không luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0 trên vì nó có thể dương ở một số điểm.
2. Hàm số :
Ta kiểm tra dấu của đạo hàm này:
Phương trình có biệt số:
Vì , phương trình vô nghiệm, do đó luôn âm trên . Vậy hàm số này nghịch biến trên .
3. Hàm số :
Đạo hàm này không luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0 trên vì nó có thể dương ở một số điểm.
4. Hàm số :
Đạo hàm này không luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0 trên vì nó có thể dương ở một số điểm.
Từ các phân tích trên, ta thấy rằng chỉ có hàm số có đạo hàm luôn nhỏ hơn 0 trên , do đó hàm số này nghịch biến trên .
Đáp án đúng là: B) .
Câu 31.
Để xác định tính chất biến thiên của hàm số , ta sẽ tính đạo hàm của hàm số này.
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số .
Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số:
Tính đạo hàm của tử và mẫu:
Thay vào công thức:
Bước 2: Xác định dấu của đạo hàm .
Ta thấy rằng:
Vì với mọi , nên với mọi .
Bước 3: Kết luận về tính chất biến thiên của hàm số.
- Trên khoảng , đạo hàm , nên hàm số đồng biến.
- Trên khoảng , đạo hàm , nên hàm số đồng biến.
Do đó, hàm số đồng biến trên cả hai khoảng và .
Vậy khẳng định đúng là:
B. Hàm số đồng biến trên khoảng .
Đáp án: B.
Câu 32.
Để tìm các khoảng nghịch biến của hàm số , ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm tập xác định của hàm số:
Hàm số xác định khi , tức là . Vậy tập xác định của hàm số là .
2. Tính đạo hàm của hàm số:
Ta tính đạo hàm của :
3. Xét dấu của đạo hàm:
Ta thấy rằng với mọi . Do đó, với mọi .
4. Kết luận các khoảng nghịch biến:
Vì với mọi , hàm số nghịch biến trên các khoảng và .
Vậy các khoảng nghịch biến của hàm số là và .
Đáp án đúng là: và .
Câu 33.
Để xác định tính đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số , ta sẽ tính đạo hàm của hàm số này.
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số .
Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số:
Trong đó, và . Ta có:
Do đó:
Bước 2: Xác định dấu của đạo hàm .
Ta thấy rằng với mọi . Do đó:
Bước 3: Kết luận về tính đồng biến của hàm số.
Vì với mọi , nên hàm số đồng biến trên các khoảng và .
Do đó, mệnh đề đúng là:
B. Hàm số đã cho đồng biến trên .
Câu 34.
Để xác định hàm số đồng biến trên R, ta cần kiểm tra đạo hàm của mỗi hàm số.
A.
Tính đạo hàm:
Ta thấy rằng với mọi . Do đó, hàm số đồng biến trên R.
B.
Tính đạo hàm:
Ta thấy rằng không luôn dương với mọi . Cụ thể, khi , . Do đó, hàm số không đồng biến trên R.
C.
Tính đạo hàm:
Ta thấy rằng không luôn dương với mọi . Cụ thể, khi , . Do đó, hàm số không đồng biến trên R.
D.
Tính đạo hàm:
Ta thấy rằng với mọi . Tuy nhiên, hàm số này không xác định tại , do đó nó không đồng biến trên toàn bộ R.
Kết luận: Chỉ có hàm số đồng biến trên R.
Đáp án đúng là: A.
Câu 35.
Để xác định tính chất đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số , ta sẽ tính đạo hàm của hàm số này.
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số .
Bước 2: Xét dấu của đạo hàm để xác định tính chất đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số.
- Khi , ta có . Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng .
- Khi , ta có . Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng .
Bước 3: Kiểm tra các đáp án:
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng .
- Sai vì hàm số nghịch biến trên khoảng và đồng biến trên khoảng .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng .
- Đúng vì đạo hàm khi .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng .
- Sai vì đạo hàm khi .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng .
- Sai vì đạo hàm khi .
Vậy mệnh đề đúng là:
B. Hàm số đồng biến trên khoảng .
Câu 36.
Để xác định khoảng nào hàm số nghịch biến, ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm tập xác định của hàm số:
Hàm số có nghĩa khi .
Ta giải bất phương trình:
Điều này đúng khi . Vậy tập xác định của hàm số là .
2. Tìm đạo hàm của hàm số:
3. Xác định dấu của đạo hàm:
Để hàm số nghịch biến, đạo hàm phải nhỏ hơn hoặc bằng 0:
Vì trong khoảng , nên ta chỉ cần xét dấu của tử số :
Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng .
4. Kiểm tra các khoảng đã cho:
- Khoảng : Không nằm trong tập xác định của hàm số.
- Khoảng : Đúng, hàm số nghịch biến trên khoảng này.
- Khoảng : Hàm số đồng biến trên khoảng này.
- Khoảng : Hàm số đồng biến trên và nghịch biến trên .
Vậy đáp án đúng là:
Câu 37.
Để giải quyết các câu hỏi trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra tính chất của các hàm số liên quan.
Câu 37:
Hàm số
Bước 1: Xác định miền xác định
Điều kiện xác định của hàm số:
Do đó, miền xác định của hàm số là:
Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số
Bước 3: Xét dấu đạo hàm
Đạo hàm sẽ âm nếu:
Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng .
Vậy đáp án đúng là:
C. Hàm số đã cho nghịch biến trên .
Câu 38:
Hàm số nào sau đây đồng biến trên ?
Bước 1: Kiểm tra từng hàm số
A.
- Đạo hàm:
- Đạo hàm dương trên , nhưng không xác định tại . Do đó, không đồng biến trên toàn bộ .
B.
- Đạo hàm:
- Ta thấy rằng vì , do đó luôn đúng.
- Do đó, hàm số này đồng biến trên .
Vậy đáp án đúng là:
B. .