Câu 7.
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số , ta có thể phân tích các mệnh đề như sau:
a) Mệnh đề: "Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1."
- Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng giá trị cực tiểu của hàm số là -1, không phải 1.
- Kết luận: Mệnh đề này là sai.
b) Mệnh đề: "Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng -1."
- Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng giá trị lớn nhất của hàm số là 0 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1.
- Kết luận: Mệnh đề này là đúng.
c) Mệnh đề: "Hàm số đạt cực đại tại và đạt cực tiểu tại ."
- Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng hàm số đạt cực đại tại và đạt cực tiểu tại .
- Kết luận: Mệnh đề này là đúng.
d) Mệnh đề: "Hàm số có đúng một cực trị."
- Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng hàm số có hai cực trị: cực đại tại và cực tiểu tại .
- Kết luận: Mệnh đề này là sai.
Tóm lại:
- Mệnh đề a) là sai.
- Mệnh đề b) là đúng.
- Mệnh đề c) là đúng.
- Mệnh đề d) là sai.
Câu 8.
Đầu tiên, ta viết lại hàm số đã cho:
Mệnh đề a: Hàm số đồng biến trên khoảng
Ta tính đạo hàm của hàm số:
Để hàm số đồng biến trên khoảng , ta cần:
Trên khoảng , ta thấy rằng luôn đúng. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng .
Mệnh đề này là Đúng.
Mệnh đề b: Hàm số có 3 điểm cực trị
Hàm số bậc hai là một parabol mở xuống, do đó nó chỉ có một điểm cực đại.
Mệnh đề này là Sai.
Mệnh đề c: Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng 1
Ta tính giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực đại (nếu có):
- Tại :
- Tại :
- Điểm cực đại của hàm số xảy ra khi đạo hàm bằng 0:
Tuy nhiên, nằm ngoài đoạn . Do đó, ta chỉ cần so sánh giá trị tại các điểm biên:
-
-
Như vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn là .
Mệnh đề này là Sai.
Mệnh đề d: Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn bằng 21
Từ các tính toán ở trên, ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn là .
Mệnh đề này là Đúng.
Kết luận:
- Mệnh đề a: Đúng
- Mệnh đề b: Sai
- Mệnh đề c: Sai
- Mệnh đề d: Đúng
Câu 9.
Để giải quyết các mệnh đề, chúng ta sẽ dựa vào đồ thị của hàm số .
a) Hàm số có 2 điểm cực trị.
- Đồ thị của cắt trục hoành tại hai điểm, tương ứng với hai giá trị mà . Điều này cho thấy hàm số có hai điểm cực trị.
- Đáp án: Đúng
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng .
- Trên khoảng , đồ thị của nằm dưới trục hoành, tức là . Điều này cho thấy hàm số nghịch biến trên khoảng .
- Đáp án: Đúng
c) Hàm số đồng biến trên khoảng .
- Trên khoảng , đồ thị của nằm trên trục hoành, tức là . Điều này cho thấy hàm số đồng biến trên khoảng .
- Đáp án: Đúng
d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn là .
- Trên đoạn , hàm số đạt cực đại tại vì chuyển từ âm sang dương tại điểm này. Tuy nhiên, để chắc chắn rằng là giá trị lớn nhất trên đoạn , chúng ta cần kiểm tra giá trị của tại các điểm biên và . Nếu lớn hơn , thì là giá trị lớn nhất.
- Đáp án: Đúng (nếu lớn hơn )
Tóm lại:
- Mệnh đề a) Đúng
- Mệnh đề b) Đúng
- Mệnh đề c) Đúng
- Mệnh đề d) Đúng (nếu lớn hơn )
Câu 10.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ dựa vào đồ thị của hàm số để suy ra các tính chất của hàm số .
1. Xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến của :
- Khi , hàm số đồng biến.
- Khi , hàm số nghịch biến.
Từ đồ thị, ta thấy:
- trên các khoảng và . Do đó, đồng biến trên các khoảng này.
- trên khoảng . Do đó, nghịch biến trên khoảng này.
2. Xác định các điểm cực trị của :
- Điểm cực đại xảy ra khi chuyển từ dương sang âm.
- Điểm cực tiểu xảy ra khi chuyển từ âm sang dương.
Từ đồ thị, ta thấy:
- chuyển từ dương sang âm tại . Do đó, đạt cực đại tại .
- chuyển từ âm sang dương tại . Do đó, đạt cực tiểu tại .
3. Tóm tắt kết quả:
- Hàm số đồng biến trên các khoảng và .
- Hàm số nghịch biến trên khoảng .
- Hàm số đạt cực đại tại .
- Hàm số đạt cực tiểu tại .
Đáp số:
- Đồng biến: và
- Nghịch biến:
- Cực đại:
- Cực tiểu: