Giải giúp tôi

Câu 1. Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số \( y = f(x) \) từ bảng biến thiên, ta cần kiểm tra các đoạn trên bảng biến thiên trong đó giá trị của hàm số giảm dần theo \( x \). Bảng biến thiên cho thấy: - Từ \( x = -1 \) đến \( x = 3 \), giá trị của hàm số giảm dần. Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng \( (-1; 3) \). Vậy đáp án đúng là: C. \( (-1; 3) \). Câu 2. Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) trên đoạn \([-3; 3]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x + 2) = 3x^2 - 3 \] 2. Xác định các điểm cực trị: Giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ f'(x) = 0 \] \[ 3x^2 - 3 = 0 \] \[ 3(x^2 - 1) = 0 \] \[ x^2 - 1 = 0 \] \[ x = \pm 1 \] 3. Kiểm tra các giá trị tại các điểm cực trị và tại các biên của đoạn: - Tại \( x = -3 \): \[ f(-3) = (-3)^3 - 3(-3) + 2 = -27 + 9 + 2 = -16 \] - Tại \( x = -1 \): \[ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4 \] - Tại \( x = 1 \): \[ f(1) = (1)^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \] - Tại \( x = 3 \): \[ f(3) = (3)^3 - 3(3) + 2 = 27 - 9 + 2 = 20 \] 4. So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất: Các giá trị của hàm số tại các điểm kiểm tra là: - \( f(-3) = -16 \) - \( f(-1) = 4 \) - \( f(1) = 0 \) - \( f(3) = 20 \) Trong các giá trị này, giá trị lớn nhất là 20, đạt được khi \( x = 3 \). Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) trên đoạn \([-3; 3]\) là 20, đạt được khi \( x = 3 \). Đáp án đúng là: D. 20. Câu 3. Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \([-1; 3]\), chúng ta sẽ dựa vào đồ thị của hàm số để xác định giá trị lớn nhất. Bước 1: Xác định các điểm cực đại trên đoạn \([-1; 3]\): - Từ đồ thị, ta thấy rằng hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm \( x = 1 \) với giá trị \( f(1) = 3 \). Bước 2: Kiểm tra các giá trị của hàm số tại các biên của đoạn: - Tại \( x = -1 \), giá trị của hàm số là \( f(-1) = -1 \). - Tại \( x = 3 \), giá trị của hàm số là \( f(3) = 1 \). Bước 3: So sánh các giá trị đã tìm được: - \( f(1) = 3 \) - \( f(-1) = -1 \) - \( f(3) = 1 \) Trong các giá trị này, giá trị lớn nhất là 3, đạt được khi \( x = 1 \). Vậy giá trị lớn nhất của hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \([-1; 3]\) là 3. Đáp án đúng là: D. 3 Câu 4. Để xác định phương trình của tiệm cận ngang của đồ thị hàm số, ta dựa vào giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến vô cùng (\( x \to +\infty \)) hoặc âm vô cùng (\( x \to -\infty \)). Trong bảng biến thiên, ta thấy: - Khi \( x \to +\infty \), giá trị của \( f(x) \) tiến gần đến 2. - Khi \( x \to -\infty \), giá trị của \( f(x) \) cũng tiến gần đến 2. Từ đó, ta suy ra rằng tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình \( y = 2 \). Vậy đáp án đúng là: B. \( y = 2 \). Câu 5. Để xác định hàm số có đồ thị như trong hình vẽ, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số đã cho để xem liệu nó có thỏa mãn các tính chất của đồ thị hay không. Bước 1: Kiểm tra tính chất của đồ thị - Đồ thị cắt trục y tại điểm (0, -1). Điều này có nghĩa là khi \( x = 0 \), giá trị của hàm số phải là -1. - Đồ thị có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu. Bước 2: Kiểm tra từng hàm số A. \( y = -x^3 + 3x^2 - 1 \) - Khi \( x = 0 \): \[ y = -0^3 + 3 \cdot 0^2 - 1 = -1 \] Đồ thị cắt trục y tại điểm (0, -1). - Để kiểm tra tính chất cực đại và cực tiểu, ta tính đạo hàm: \[ y' = -3x^2 + 6x \] Đặt \( y' = 0 \): \[ -3x^2 + 6x = 0 \implies -3x(x - 2) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \] Ta có hai điểm cực trị tại \( x = 0 \) và \( x = 2 \). Tuy nhiên, đồ thị chỉ có một điểm cực tiểu và hai điểm cực đại, nên hàm số này không đúng. B. \( y = -x^4 + 2x^2 - 1 \) - Khi \( x = 0 \): \[ y = -0^4 + 2 \cdot 0^2 - 1 = -1 \] Đồ thị cắt trục y tại điểm (0, -1). - Để kiểm tra tính chất cực đại và cực tiểu, ta tính đạo hàm: \[ y' = -4x^3 + 4x \] Đặt \( y' = 0 \): \[ -4x^3 + 4x = 0 \implies -4x(x^2 - 1) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = \pm 1 \] Ta có ba điểm cực trị tại \( x = 0 \), \( x = 1 \), và \( x = -1 \). Đồ thị có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu, nên hàm số này đúng. C. \( y = x^4 - 2x^2 - 1 \) - Khi \( x = 0 \): \[ y = 0^4 - 2 \cdot 0^2 - 1 = -1 \] Đồ thị cắt trục y tại điểm (0, -1). - Để kiểm tra tính chất cực đại và cực tiểu, ta tính đạo hàm: \[ y' = 4x^3 - 4x \] Đặt \( y' = 0 \): \[ 4x^3 - 4x = 0 \implies 4x(x^2 - 1) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = \pm 1 \] Ta có ba điểm cực trị tại \( x = 0 \), \( x = 1 \), và \( x = -1 \). Đồ thị có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu, nhưng dấu của các hệ số cho thấy đồ thị không giống như trong hình vẽ. D. \( y = x^3 - 3x^2 + 1 \) - Khi \( x = 0 \): \[ y = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 1 = 1 \] Đồ thị cắt trục y tại điểm (0, 1), không thỏa mãn yêu cầu. Kết luận Hàm số có đồ thị như trong hình vẽ là: \[ \boxed{B. \ y = -x^4 + 2x^2 - 1} \] Câu 6. Để giải quyết nhiệm vụ này, chúng ta cần dựa vào bảng biến thiên của hàm số \( f(x) \) để xác định các tính chất và hành vi của hàm số. Dưới đây là các bước chi tiết: 1. Xác định miền xác định: - Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng hàm số \( f(x) \) được xác định trên khoảng \( (-\infty, +\infty) \). 2. Tìm các giới hạn: - Khi \( x \to -\infty \), \( f(x) \to -\infty \). - Khi \( x \to +\infty \), \( f(x) \to +\infty \). 3. Xác định các điểm cực trị: - Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng hàm số đạt cực tiểu tại \( x = -1 \) với giá trị \( f(-1) = -2 \). - Hàm số đạt cực đại tại \( x = 1 \) với giá trị \( f(1) = 2 \). 4. Xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến: - Hàm số \( f(x) \) đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, -1) \) và \( (1, +\infty) \). - Hàm số \( f(x) \) nghịch biến trên khoảng \( (-1, 1) \). 5. Xác định các điểm đặc biệt: - Ta thấy rằng \( f(0) = 0 \). Do đó, hàm số đi qua gốc tọa độ. 6. Tóm tắt các tính chất: - Miền xác định: \( (-\infty, +\infty) \) - Giới hạn: - \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \) - \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \) - Cực trị: - Cực tiểu tại \( x = -1 \) với giá trị \( f(-1) = -2 \) - Cực đại tại \( x = 1 \) với giá trị \( f(1) = 2 \) - Đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, -1) \) và \( (1, +\infty) \) - Nghịch biến trên khoảng \( (-1, 1) \) - Điểm đặc biệt: \( f(0) = 0 \) Như vậy, thông qua bảng biến thiên, chúng ta đã xác định được các tính chất quan trọng của hàm số \( f(x) \).