giải chi tiết

Câu 2: Để tìm tọa độ các đỉnh \(C\) và \(A'\) của hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ đỉnh \(C\): - Vì \(ABCD\) là đáy của hình hộp, ta biết rằng \(C\) nằm trên cùng một mặt phẳng với \(A\), \(B\), và \(D\). - Ta cũng biết rằng \(C\) sẽ có tọa độ là \( (x_C, y_C, z_C) \). Do \(ABCD\) là hình vuông (vì \(AB\) và \(AD\) vuông góc với nhau và có cùng độ dài), ta có: - \(B\) có tọa độ \((3, 0, 0)\) - \(D\) có tọa độ \((0, 3, 0)\) Vì \(C\) nằm trên cùng một mặt phẳng với \(A\), \(B\), và \(D\), và \(ABCD\) là hình vuông, ta suy ra: - \(C\) sẽ có tọa độ \((3, 3, 0)\). 2. Tìm tọa độ đỉnh \(A'\): - Vì \(A'\) là đỉnh đối diện với \(A\) trong hình hộp, ta biết rằng \(A'\) sẽ có tọa độ là \( (x_{A'}, y_{A'}, z_{A'}) \). Do \(A\) có tọa độ \((0, 0, 0)\) và \(D'\) có tọa độ \((0, 3, -3)\), ta suy ra: - \(A'\) sẽ có tọa độ \((0, 0, -3)\). Vậy tọa độ các đỉnh \(C\) và \(A'\) của hình hộp là: - \(C(3, 3, 0)\) - \(A'(0, 0, -3)\) Đáp số: \(C(3, 3, 0)\) và \(A'(0, 0, -3)\). Câu 3: Để tìm một vectơ khác $\overrightarrow{0}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BD}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm các vectơ $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BD}$: - Vectơ $\overrightarrow{BC}$: \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (1 - 1, -1 - 1, 0 - 2) = (0, -2, -2) \] - Vectơ $\overrightarrow{BD}$: \[ \overrightarrow{BD} = D - B = (0 - 1, 0 - 1, 1 - 2) = (-1, -1, -1) \] 2. Tìm vectơ pháp tuyến (vuông góc) với cả hai vectơ $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BD}$: Ta sử dụng phép nhân vectơ (tích vector) để tìm vectơ pháp tuyến: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BD} \] Tính tích vector: \[ \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -2 & -2 \\ -1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-2)(-1) - (-2)(-1)) - \mathbf{j}((0)(-1) - (-2)(-1)) + \mathbf{k}((0)(-1) - (-2)(-1)) \] \[ = \mathbf{i}(2 - 2) - \mathbf{j}(0 - 2) + \mathbf{k}(0 - 2) \] \[ = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(-2) + \mathbf{k}(-2) \] \[ = 0\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - 2\mathbf{k} \] \[ = (0, 2, -2) \] Vậy, một vectơ khác $\overrightarrow{0}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BD}$ là $(0, 2, -2)$. Đáp số: $(0, 2, -2)$.