Giúp mình với ạ

Câu 1. Để tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\frac{2x^2+x-2}{x-1}$, ta thực hiện phép chia đa thức như sau: 1. Chia $2x^2 + x - 2$ cho $x - 1$: \[ \begin{array}{r|rr} & 2x + 3 \\ \hline x - 1 & 2x^2 + x - 2 \\ & -(2x^2 - 2x) \\ \hline & 3x - 2 \\ & -(3x - 3) \\ \hline & 1 \\ \end{array} \] 2. Kết quả của phép chia là: \[ \frac{2x^2 + x - 2}{x - 1} = 2x + 3 + \frac{1}{x - 1} \] 3. Khi $x$ tiến đến vô cùng ($x \to \pm\infty$), phần $\frac{1}{x - 1}$ sẽ tiến đến 0. Do đó, đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: \[ y = 2x + 3 \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~y=2x+3. \] Câu 2. Để tìm giá trị nhỏ nhất (m) và giá trị lớn nhất (M) của hàm số \( f(x) \) trên đoạn \([-1, 1]\), chúng ta sẽ dựa vào đồ thị của hàm số. 1. Xác định giá trị nhỏ nhất (m): - Trên đoạn \([-1, 1]\), giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) \) là giá trị thấp nhất mà đồ thị đạt được trong khoảng này. - Từ đồ thị, ta thấy giá trị nhỏ nhất của \( f(x) \) trên đoạn \([-1, 1]\) là \(-2\). 2. Xác định giá trị lớn nhất (M): - Trên đoạn \([-1, 1]\), giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) \) là giá trị cao nhất mà đồ thị đạt được trong khoảng này. - Từ đồ thị, ta thấy giá trị lớn nhất của \( f(x) \) trên đoạn \([-1, 1]\) là \(1\). 3. Tính tổng \( m + M \): - \( m = -2 \) - \( M = 1 \) - Vậy \( m + M = -2 + 1 = -1 \) Tuy nhiên, từ các lựa chọn đã cho: - A. \( m + M = 2 \) - B. \( m + M = -2 \) - C. \( m + M = -3 \) - D. \( m + M = 0 \) Ta thấy rằng đáp án đúng là \( m + M = -1 \), nhưng không có trong các lựa chọn. Do đó, có thể có sự nhầm lẫn hoặc sai sót trong đề bài hoặc các lựa chọn. Tuy nhiên, dựa trên thông tin từ đồ thị, ta có thể kết luận: Đáp án: \( m + M = -1 \) Nhưng vì không có trong các lựa chọn, ta có thể chọn đáp án gần đúng nhất là: - D. \( m + M = 0 \) (nếu coi là sai số nhỏ). Câu 3. Để xác định mệnh đề đúng, chúng ta cần phân tích các tính chất của đồ thị hàm số \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \). 1. Phân tích dấu của \( a \): - Đồ thị hàm số \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \) có dạng cong lên ở hai đầu, tức là khi \( x \to -\infty \) thì \( y \to -\infty \) và khi \( x \to +\infty \) thì \( y \to +\infty \). Điều này chỉ xảy ra khi hệ số \( a > 0 \). 2. Phân tích dấu của \( b \): - Đồ thị có hai điểm uốn, và từ đó ta thấy rằng nó có thể có dạng cong xuống ở giữa. Điều này chỉ xảy ra khi hệ số \( b < 0 \). 3. Phân tích dấu của \( c \): - Đồ thị cắt trục \( Oy \) ở điểm \( (0, d) \), và từ đó ta thấy rằng nó có thể có dạng tăng dần từ trái sang phải. Điều này chỉ xảy ra khi hệ số \( c > 0 \). 4. Phân tích dấu của \( d \): - Đồ thị cắt trục \( Oy \) ở điểm \( (0, d) \), và từ đó ta thấy rằng nó có thể có dạng cắt trục \( Oy \) ở phía trên trục \( Ox \). Điều này chỉ xảy ra khi hệ số \( d > 0 \). Từ những phân tích trên, ta thấy rằng các điều kiện \( a > 0 \), \( b < 0 \), \( c > 0 \), và \( d > 0 \) đều thỏa mãn. Do đó, mệnh đề đúng là: \[ B.~a > 0, b < 0, c > 0, d > 0. \] Đáp án: \( B.~a > 0, b < 0, c > 0, d > 0. \) Câu 4. Để tìm diện tích tạo bởi hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số \( y = \frac{2x + 3}{x + 4} \) và các trục tọa độ, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm các đường tiệm cận của hàm số: - Đường tiệm cận đứng: Tìm giá trị của \( x \) làm mẫu số bằng 0: \[ x + 4 = 0 \implies x = -4 \] Vậy đường tiệm cận đứng là \( x = -4 \). - Đường tiệm cận ngang: Tìm giới hạn của \( y \) khi \( x \) tiến đến vô cùng: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2x + 3}{x + 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{1 + \frac{4}{x}} = 2 \] Vậy đường tiệm cận ngang là \( y = 2 \). 2. Xác định các đỉnh của hình chữ nhật: - Điểm giao của đường tiệm cận đứng \( x = -4 \) với trục hoành là \( (-4, 0) \). - Điểm giao của đường tiệm cận ngang \( y = 2 \) với trục tung là \( (0, 2) \). - Điểm giao của đường tiệm cận đứng \( x = -4 \) với đường tiệm cận ngang \( y = 2 \) là \( (-4, 2) \). 3. Tính diện tích hình chữ nhật: - Chiều dài của hình chữ nhật là khoảng cách từ \( x = -4 \) đến \( x = 0 \): \[ 0 - (-4) = 4 \] - Chiều rộng của hình chữ nhật là khoảng cách từ \( y = 0 \) đến \( y = 2 \): \[ 2 - 0 = 2 \] - Diện tích hình chữ nhật là: \[ 4 \times 2 = 8 \] Vậy diện tích tạo bởi hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số \( y = \frac{2x + 3}{x + 4} \) và các trục tọa độ là \( 8 \). Đáp án đúng là: C. 8. Câu 5. Để xác định đồ thị của hàm số nào trong các lựa chọn, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số và so sánh với đồ thị đã cho. Các hàm số có thể là: A. \( y = \sin x \) B. \( y = \cos x \) C. \( y = \tan x \) D. \( y = \cot x \) Ta sẽ kiểm tra từng hàm số: 1. Hàm số \( y = \sin x \): - Đồ thị của \( y = \sin x \) có dạng sóng sin, dao động giữa -1 và 1, và có chu kỳ là \( 2\pi \). - Điểm cực đại là 1 và cực tiểu là -1. - Đồ thị này không phù hợp với đồ thị đã cho vì đồ thị đã cho không có dạng sóng sin. 2. Hàm số \( y = \cos x \): - Đồ thị của \( y = \cos x \) cũng có dạng sóng cos, dao động giữa -1 và 1, và có chu kỳ là \( 2\pi \). - Điểm cực đại là 1 và cực tiểu là -1. - Đồ thị này cũng không phù hợp với đồ thị đã cho vì đồ thị đã cho không có dạng sóng cos. 3. Hàm số \( y = \tan x \): - Đồ thị của \( y = \tan x \) có dạng đường cong với các điểm bất định ở \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) (k là số nguyên). - Đồ thị này không phù hợp với đồ thị đã cho vì đồ thị đã cho không có các điểm bất định ở \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \). 4. Hàm số \( y = \cot x \): - Đồ thị của \( y = \cot x \) có dạng đường cong với các điểm bất định ở \( x = k\pi \) (k là số nguyên). - Đồ thị này phù hợp với đồ thị đã cho vì đồ thị đã cho có các điểm bất định ở \( x = k\pi \). Do đó, đồ thị đã cho là của hàm số \( y = \cot x \). Đáp án đúng là: D. 2.