giup em voi a

Câu 2. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề dựa trên tính chất của hàm số và đồ thị của nó. a) Hàm số có hai điểm cực trị. Ta tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = 3x^2 - 6x \] Đặt \( y' = 0 \): \[ 3x^2 - 6x = 0 \] \[ 3x(x - 2) = 0 \] \[ x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \] Ta thấy đạo hàm \( y' \) đổi dấu từ dương sang âm khi \( x \) tăng từ 0 đến 2, và từ âm sang dương khi \( x \) tăng từ 2 trở đi. Do đó, hàm số có hai điểm cực trị tại \( x = 0 \) và \( x = 2 \). b) Hàm số đồng biến trên khoảng \( (0; +\infty) \). Ta đã biết đạo hàm của hàm số là: \[ y' = 3x^2 - 6x \] Trên khoảng \( (0; +\infty) \), ta xét dấu của \( y' \): - Khi \( 0 < x < 2 \), ta có \( y' < 0 \) (hàm số nghịch biến). - Khi \( x > 2 \), ta có \( y' > 0 \) (hàm số đồng biến). Do đó, hàm số không đồng biến trên toàn bộ khoảng \( (0; +\infty) \). Mệnh đề này sai. c) Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm \( M(1;1) \) có phương trình là \( \Delta: y = -3x + 2 \). Ta tính đạo hàm tại điểm \( x = 1 \): \[ y'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm \( M(1;1) \) là: \[ y - 1 = -3(x - 1) \] \[ y - 1 = -3x + 3 \] \[ y = -3x + 4 \] Do đó, phương trình tiếp tuyến là \( y = -3x + 4 \), không phải là \( y = -3x + 2 \). Mệnh đề này sai. d) Đường thẳng \( d: y = (2m - 1)x + m + 3 \) song song với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị (C) khi \( m = -\frac{1}{2} \). Hai điểm cực trị của đồ thị (C) là \( A(0,1) \) và \( B(2,-3) \). Ta tính hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm này: \[ k_{AB} = \frac{-3 - 1}{2 - 0} = \frac{-4}{2} = -2 \] Đường thẳng \( d \) song song với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị nếu hệ số góc của \( d \) bằng \(-2\): \[ 2m - 1 = -2 \] \[ 2m = -1 \] \[ m = -\frac{1}{2} \] Do đó, mệnh đề này đúng. Kết luận: a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng Câu 3. a) Hàm số đồng biến trên khoảng $(2;+\infty).$ - Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số tăng từ $x = 2$ đến $+\infty$. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng $(2; +\infty)$. - Đáp án đúng. b) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là $y=0.$ - Đường tiệm cận đứng thường xuất hiện khi hàm số có dạng phân thức và mẫu số bằng 0 tại một điểm nào đó. Tuy nhiên, từ bảng biến thiên, ta không thấy dấu hiệu của đường tiệm cận đứng ở $y = 0$. - Đáp án sai. c) Tập xác định của hàm số là $D=R\setminus\{0\}.$ - Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số có giá trị không xác định tại $x = 0$. Điều này có thể do hàm số có dạng phân thức và mẫu số bằng 0 tại $x = 0$. - Đáp án đúng. d) Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số có phương trình là $y=2x+1.$ - Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực đại tại $x = -1$ và cực tiểu tại $x = 2$. - Ta tính giá trị của hàm số tại hai điểm này: - Khi $x = -1$, $f(-1) = 3$. - Khi $x = 2$, $f(2) = 5$. - Vậy hai điểm cực trị là $(-1, 3)$ và $(2, 5)$. - Ta tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm này: - Gọi phương trình đường thẳng là $y = ax + b$. - Thay hai điểm vào phương trình: - $3 = a(-1) + b \Rightarrow -a + b = 3$. - $5 = a(2) + b \Rightarrow 2a + b = 5$. - Giải hệ phương trình: - $-a + b = 3$. - $2a + b = 5$. - Trừ phương trình thứ nhất từ phương trình thứ hai: - $(2a + b) - (-a + b) = 5 - 3 \Rightarrow 3a = 2 \Rightarrow a = \frac{2}{3}$. - Thay $a = \frac{2}{3}$ vào phương trình $-a + b = 3$: - $-\frac{2}{3} + b = 3 \Rightarrow b = 3 + \frac{2}{3} = \frac{11}{3}$. - Vậy phương trình đường thẳng là $y = \frac{2}{3}x + \frac{11}{3}$. - Đáp án sai. Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai. Câu 4. a) Tọa độ véc tơ $\overrightarrow{BA}$ là $(1-2;1-3;1-4)=(-1;-2;-3).$ Mệnh đề sai. b) Ta có $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=(6-2;5-3;2-4)=(4;2;-2).$ Tọa độ đỉnh D là $(1+4;1+2;1-2)=(5;3;-1).$ Mệnh đề đúng. c) Tọa độ tâm I của hình bình hành ABCD là $(\frac{1+6}{2};\frac{1+5}{2};\frac{1+2}{2})=(\frac{7}{2};3;\frac{3}{2}).$ Mệnh đề sai. d) Ta có $\overrightarrow{AB}=(1;2;3),~\overrightarrow{AD}=(4;2;-2).$ $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=1\times 4+2\times 2+3\times (-2)=4.$ $\left| \overrightarrow{AB} \right|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14},~\left| \overrightarrow{AD} \right|=\sqrt{4^2+2^2+(-2)^2}=6.$ $\cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}}{\left| \overrightarrow{AB} \right|\times \left| \overrightarrow{AD} \right|}=\frac{4}{\sqrt{14}\times 6}=\frac{2}{3\sqrt{14}}.$ $\sin (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})=\sqrt{1-\frac{4}{9\times 14}}=\frac{\sqrt{125}}{3\sqrt{14}}.$ Diện tích hình bình hành ABCD là $S=AB\times AD\times \sin (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})=\sqrt{14}\times 6\times \frac{\sqrt{125}}{3\sqrt{14}}=10\sqrt{5}.$ Mệnh đề sai. Câu 1. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B. 2. Xác định vận tốc của máy bay. 3. Tìm tung độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo. Bước 1: Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B Khoảng cách giữa hai điểm A(800; 500; 7) và B(940; 550; 8) được tính bằng công thức: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Thay tọa độ của A và B vào công thức: \[ d = \sqrt{(940 - 800)^2 + (550 - 500)^2 + (8 - 7)^2} \] \[ d = \sqrt{140^2 + 50^2 + 1^2} \] \[ d = \sqrt{19600 + 2500 + 1} \] \[ d = \sqrt{22101} \] \[ d \approx 148.66 \text{ km} \] Bước 2: Xác định vận tốc của máy bay Máy bay di chuyển từ điểm A đến điểm B trong 10 phút, tức là $\frac{1}{6}$ giờ. Vận tốc của máy bay là: \[ v = \frac{d}{t} = \frac{148.66}{\frac{1}{6}} = 148.66 \times 6 \approx 891.96 \text{ km/giờ} \] Bước 3: Tìm tung độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo Trong 10 phút tiếp theo, máy bay sẽ di chuyển thêm một quãng đường: \[ d' = v \times t' = 891.96 \times \frac{1}{6} \approx 148.66 \text{ km} \] Tung độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo sẽ tăng thêm: \[ \Delta z = \frac{8 - 7}{148.66} \times 148.66 = 1 \text{ km} \] Vì vậy, tung độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo là: \[ z_{\text{mới}} = 8 + 1 = 9 \text{ km} \] Đáp số: Tung độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo là 9 km. Câu 2. Để tìm vận tốc lớn nhất của chất điểm trong khoảng thời gian 2 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm công thức của vận tốc: Vận tốc tức thời của chất điểm là đạo hàm của hàm chuyển động \( s(t) \). Ta có: \[ v(t) = s'(t) \] Tính đạo hàm của \( s(t) = -t^3 + 3t^2 - 1 \): \[ s'(t) = -3t^2 + 6t \] Vậy, vận tốc tức thời của chất điểm là: \[ v(t) = -3t^2 + 6t \] 2. Tìm cực đại của hàm vận tốc: Để tìm vận tốc lớn nhất, ta cần tìm giá trị cực đại của hàm \( v(t) = -3t^2 + 6t \). Ta tính đạo hàm của \( v(t) \): \[ v'(t) = -6t + 6 \] Đặt \( v'(t) = 0 \) để tìm điểm cực trị: \[ -6t + 6 = 0 \implies t = 1 \] 3. Kiểm tra tính chất của điểm cực trị: Ta kiểm tra tính chất của điểm \( t = 1 \) bằng cách tính đạo hàm bậc hai của \( v(t) \): \[ v''(t) = -6 \] Vì \( v''(t) < 0 \), nên \( t = 1 \) là điểm cực đại của hàm \( v(t) \). 4. Tính vận tốc tại điểm cực đại: Thay \( t = 1 \) vào công thức của \( v(t) \): \[ v(1) = -3(1)^2 + 6(1) = -3 + 6 = 3 \] 5. Kiểm tra biên của khoảng thời gian: Ta cũng cần kiểm tra vận tốc tại các biên của khoảng thời gian 0 đến 2 giây: \[ v(0) = -3(0)^2 + 6(0) = 0 \] \[ v(2) = -3(2)^2 + 6(2) = -12 + 12 = 0 \] So sánh các giá trị: - \( v(0) = 0 \) - \( v(1) = 3 \) - \( v(2) = 0 \) Như vậy, vận tốc lớn nhất trong khoảng thời gian 2 giây là 3 m/s, đạt được khi \( t = 1 \) giây. Đáp số: Vận tốc lớn nhất là 3 m/s, đạt được khi \( t = 1 \) giây. Câu 3. Trước tiên, ta nhận thấy rằng các lực căng $\overrightarrow{F_1}$, $\overrightarrow{F_2}$, và $\overrightarrow{F_3}$ đều có cùng độ lớn và đôi một vuông góc với nhau. Điều này có nghĩa là chúng tạo thành một hệ tọa độ trực giao. Khi một vật cân bằng dưới tác dụng của nhiều lực, tổng các lực tác dụng lên vật phải bằng không. Trong trường hợp này, tổng các lực căng phải bằng trọng lượng của chiếc đèn tròn. Ta có: \[ |\overrightarrow{F_1}| = |\overrightarrow{F_2}| = |\overrightarrow{F_3}| = 15 \text{ N} \] Vì các lực này đôi một vuông góc với nhau, ta có thể tính tổng vectơ của chúng bằng cách sử dụng định lý Pythagoras trong không gian 3 chiều. Tổng vectơ của các lực căng là: \[ |\overrightarrow{F_{total}}| = \sqrt{|\overrightarrow{F_1}|^2 + |\overrightarrow{F_2}|^2 + |\overrightarrow{F_3}|^2} \] \[ |\overrightarrow{F_{total}}| = \sqrt{15^2 + 15^2 + 15^2} \] \[ |\overrightarrow{F_{total}}| = \sqrt{225 + 225 + 225} \] \[ |\overrightarrow{F_{total}}| = \sqrt{675} \] \[ |\overrightarrow{F_{total}}| = 15\sqrt{3} \text{ N} \] Do đó, trọng lượng của chiếc đèn tròn là: \[ W = 15\sqrt{3} \text{ N} \] Đáp số: Trọng lượng của chiếc đèn tròn là \( 15\sqrt{3} \text{ N} \).