Bshhs d dbdbbd Ghi chủ:,Ngày,Bài 1: Tính các giới hạn sau,$\lim_{n ightarrow+\infty}n^n$,$1\lim_{n ightarrow-\infty}\frac{n^2+3n-1}{n^2-2n}$ $2\lim_{x ightarrow1}\frac{x^2-4x+3}{x-1}$,$3\lim_{x ightarrow3^+}\frac{4x-1}{x-3}$,Bài 2. Cho các dãy số sau,$un=1-4n$ $v_n=\frac{2-n^2}3$,$C_n=(-2)^n$,Xét tính tăng, giảm cuả dãy số,Đây nào là CSC, CSN?,Bài 3. Cho hàm số,$\left\{\begin{array}l\sqrt{x+2-3}~khi~x3\x-7~khi~x\leq3\end{array} ight.$,f (x):,a Tính $f(5)$,b Tính lim f(x), làm f(x),$x ightarrow3^2~A^2~10x-3^2$,c. Tìm m để hàm số liên tục tại $x=3$,Bài 4 cho hàm số h/c SABCD có đáy là HbH tâm O,gọi E, F, G là trung điểm cuả SB, SC, SD,a Tìm giao tuyến (SAB) và (SCD),$b.~CM.EF//(SAD)$,$C.~CM.~(EFQ)//(AOCD)$,Gia Long Đức Tiến

Question

Bshhs d dbdbbd Ghi chủ:,Ngày,Bài 1: Tính các giới hạn sau,$\lim_{nightarrow+\infty}n^n$,$1\lim_{nightarrow-\infty}\frac{n^2+3n-1}{n^2-2n}$ $2\lim_{xightarrow1}\frac{x^2-4x+3}{x-1}$,$3\lim_{xightarrow3^+}\frac{4x-1}{x-3}$,Bài 2. Cho các dãy số sau,$un=1-4n$ $v_n=\frac{2-n^2}3$,$C_n=(-2)^n$,Xét tính tăng, giảm cuả dãy số,Đây nào là CSC, CSN?,Bài 3. Cho hàm số,$\left\{\begin{array}l\sqrt{x+2-3}~khi~x>3\x-7~khi~x\leq3\end{array}ight.$,f (x):,a Tính $f(5)$,b Tính lim f(x), làm f(x),$xightarrow3^2~A^2~10x-3^2$,c. Tìm m để hàm số liên tục tại $x=3$,Bài 4 cho hàm số h/c SABCD có đáy là HbH tâm O,gọi E, F, G là trung điểm cuả SB, SC, SD,a Tìm giao tuyến (SAB) và (SCD),$b.~CM.EF//(SAD)$,$C.~CM.~(EFQ)//(AOCD)$,Gia Long Đức Tiến

Accepted Answer

Bài 1: 1. Tính $\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{n^2+3n-1}{n^2-2n}$ Để tính giới hạn này, ta chia cả tử và mẫu cho $n^2$: $$ \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{n^2+3n-1}{n^2-2n} = \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\frac{n^2}{n^2} + \frac{3n}{n^2} - \frac{1}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2} - \frac{2n}{n^2}} = \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1 + \frac{3}{n} - \frac{1}{n^2}}{1 - \frac{2}{n}} $$ Khi $n \to +\infty$, các phân số $\frac{3}{n}$, $\frac{1}{n^2}$ và $\frac{2}{n}$ đều tiến đến 0. Do đó: $$ \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1 + \frac{3}{n} - \frac{1}{n^2}}{1 - \frac{2}{n}} = \frac{1 + 0 - 0}{1 - 0} = 1 $$ Vậy: $$ \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{n^2+3n-1}{n^2-2n} = 1 $$ 2. Tính $\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^2-4x+3}{x-1}$ Ta nhận thấy rằng khi $x \to 1$, cả tử và mẫu đều tiến đến 0, do đó ta có dạng bất định $\frac{0}{0}$. Ta sẽ phân tích nhân tử ở tử để đơn giản hóa biểu thức: $$ x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) $$ Do đó: $$ \lim_{x\rightarrow1}\frac{x^2-4x+3}{x-1} = \lim_{x\rightarrow1}\frac{(x-1)(x-3)}{x-1} $$ Khi $x \neq 1$, ta có thể rút gọn phân thức: $$ \lim_{x\rightarrow1}\frac{(x-1)(x-3)}{x-1} = \lim_{x\rightarrow1}(x-3) = 1 - 3 = -2 $$ Vậy: $$ \lim_{x\rightarrow1}\frac{x^2-4x+3}{x-1} = -2 $$ 3. Tính $\lim_{x\rightarrow3^+}\frac{4x-1}{x-3}$ Khi $x \to 3^+$, tức là $x$ tiến đến 3 từ bên phải, ta có: $$ \lim_{x\rightarrow3^+}\frac{4x-1}{x-3} $$ Ta nhận thấy rằng khi $x \to 3^+$, tử số $4x - 1$ tiến đến $4 \cdot 3 - 1 = 11$, còn mẫu số $x - 3$ tiến đến 0 từ phía dương. Do đó, phân thức này tiến đến $+\infty$: $$ \lim_{x\rightarrow3^+}\frac{4x-1}{x-3} = +\infty $$ Vậy: $$ \lim_{x\rightarrow3^+}\frac{4x-1}{x-3} = +\infty $$ Bài 2. Để xét tính tăng, giảm của các dãy số và xác định chúng là dãy số cộng (CSC) hay dãy số nhân (CSN), ta thực hiện các bước sau: Dãy số $ u_n = 1 - 4n $ 1. Tính $ u_{n+1} $: $$ u_{n+1} = 1 - 4(n+1) = 1 - 4n - 4 = -3 - 4n $$ 2. So sánh $ u_{n+1} $ và $ u_n $: $$ u_{n+1} - u_n = (-3 - 4n) - (1 - 4n) = -3 - 4n - 1 + 4n = -4 $$ Vì $ u_{n+1} - u_n = -4 < 0 $, nên dãy số $ u_n = 1 - 4n $ là dãy số giảm. 3. Kiểm tra tính chất CSC hoặc CSN: $$ u_{n+1} - u_n = -4 $$ Kết quả là hằng số, do đó đây là dãy số cộng (CSC). Dãy số $ u_n = \frac{2 - n^2}{3} $ 1. Tính $ u_{n+1} $: $$ u_{n+1} = \frac{2 - (n+1)^2}{3} = \frac{2 - (n^2 + 2n + 1)}{3} = \frac{2 - n^2 - 2n - 1}{3} = \frac{1 - n^2 - 2n}{3} $$ 2. So sánh $ u_{n+1} $ và $ u_n $: $$ u_{n+1} - u_n = \frac{1 - n^2 - 2n}{3} - \frac{2 - n^2}{3} = \frac{1 - n^2 - 2n - 2 + n^2}{3} = \frac{-1 - 2n}{3} $$ Kết quả phụ thuộc vào $ n $: - Nếu $ n > -\frac{1}{2} $, thì $ u_{n+1} - u_n < 0 $, dãy số giảm. - Nếu $ n < -\frac{1}{2} $, thì $ u_{n+1} - u_n > 0 $, dãy số tăng. - Nếu $ n = -\frac{1}{2} $, thì $ u_{n+1} - u_n = 0 $, dãy số không đổi. 3. Kiểm tra tính chất CSC hoặc CSN: $$ u_{n+1} - u_n = \frac{-1 - 2n}{3} $$ Kết quả không là hằng số, do đó đây không phải là dãy số cộng (CSC) hay dãy số nhân (CSN). Dãy số $ C_n = (-2)^n $ 1. Tính $ C_{n+1} $: $$ C_{n+1} = (-2)^{n+1} = (-2) \cdot (-2)^n $$ 2. So sánh $ C_{n+1} $ và $ C_n $: $$ C_{n+1} = (-2) \cdot C_n $$ Kết quả là $ C_{n+1} = (-2) \cdot C_n $, do đó dãy số $ C_n = (-2)^n $ là dãy số nhân (CSN). 3. Kiểm tra tính chất CSC hoặc CSN: $$ \frac{C_{n+1}}{C_n} = -2 $$ Kết quả là hằng số, do đó đây là dãy số nhân (CSN). Tóm tắt kết quả: - Dãy số $ u_n = 1 - 4n $ là dãy số giảm và là dãy số cộng (CSC). - Dãy số $ u_n = \frac{2 - n^2}{3} $ không phải là dãy số tăng/giảm cố định và không phải là dãy số cộng (CSC) hay dãy số nhân (CSN). - Dãy số $ C_n = (-2)^n $ là dãy số nhân (CSN). Bài 3. a) Tính $f(5)$: Do $5 > 3$, nên ta sử dụng phần đầu tiên của hàm số: $$ f(5) = \frac{\sqrt{5 + 2} - 3}{5 - 7} = \frac{\sqrt{7} - 3}{-2} = \frac{3 - \sqrt{7}}{2} $$ b) Tính $\lim_{x \to 3^+} f(x)$ và $\lim_{x \to 3^-} f(x)$: - Với $\lim_{x \to 3^+} f(x)$, ta sử dụng phần đầu tiên của hàm số vì $x$ tiến đến 3 từ bên phải: $$ \lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} \frac{\sqrt{x + 2} - 3}{x - 7} $$ Nhân cả tử và mẫu với $\sqrt{x + 2} + 3$: $$ \lim_{x \to 3^+} \frac{(\sqrt{x + 2} - 3)(\sqrt{x + 2} + 3)}{(x - 7)(\sqrt{x + 2} + 3)} = \lim_{x \to 3^+} \frac{x + 2 - 9}{(x - 7)(\sqrt{x + 2} + 3)} = \lim_{x \to 3^+} \frac{x - 7}{(x - 7)(\sqrt{x + 2} + 3)} = \lim_{x \to 3^+} \frac{1}{\sqrt{x + 2} + 3} = \frac{1}{\sqrt{3 + 2} + 3} = \frac{1}{\sqrt{5} + 3} $$ - Với $\lim_{x \to 3^-} f(x)$, ta sử dụng phần thứ hai của hàm số vì $x$ tiến đến 3 từ bên trái: $$ \lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (2x - m) = 2(3) - m = 6 - m $$ c) Tìm $m$ để hàm số liên tục tại $x = 3$: Hàm số liên tục tại $x = 3$ nếu: $$ \lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^-} f(x) = f(3) $$ Từ phần b), ta có: $$ \frac{1}{\sqrt{5} + 3} = 6 - m $$ Giải phương trình này để tìm $m$: $$ m = 6 - \frac{1}{\sqrt{5} + 3} $$ Rationalize mẫu số: $$ m = 6 - \frac{1}{\sqrt{5} + 3} \cdot \frac{\sqrt{5} - 3}{\sqrt{5} - 3} = 6 - \frac{\sqrt{5} - 3}{5 - 9} = 6 - \frac{\sqrt{5} - 3}{-4} = 6 + \frac{\sqrt{5} - 3}{4} = 6 + \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{3}{4} = \frac{24}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{3}{4} = \frac{21 + \sqrt{5}}{4} $$ Vậy $m = \frac{21 + \sqrt{5}}{4}$. Bài 4 a) Ta có: - Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng đi qua đỉnh S và song song với đáy ABCD. - Vì E và F lần lượt là trung điểm của SB và SC nên EF song song với BC. - Mặt khác, BC song song với AD (vì ABCD là hình bình hành). - Do đó, EF song song với AD. - Vậy giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đường thẳng đi qua đỉnh S và song song với AD. b) Ta có: - E và F lần lượt là trung điểm của SB và SC nên EF song song với BC. - Vì ABCD là hình bình hành nên BC song song với AD. - Do đó, EF song song với AD. - Mặt khác, G là trung điểm của SD nên FG song song với SA. - Vậy EF song song với (SAD). c) Ta có: - EF song song với AD (chứng minh ở phần b). - FG song song với SA (chứng minh ở phần b). - Vì EF song song với AD và FG song song với SA nên (EFG) song song với (SAO). - Mặt khác, (SAO) và (AOCD) chung đường thẳng AO. - Do đó, (EFG) song song với (AOCD).