Câu 3. Ở một sân bay, vị trí của máy bay được xác định bởi điểm P trong không gian Oxyz như hình vẽ. Gọi I là hình chiếu vuông góc của P(a, b; c) xuống mặt phẳng (Oxy). Cho biết OP = 43 ( vec i , vec...

Câu 3. Trước tiên, ta xác định các thông tin đã cho: - $$ - Góc giữa $$ và $$ là $$ Hình chiếu vuông góc của $$ xuống mặt phẳng $$ là $$. Ta có: $$ Góc giữa $$ và $$ là $$, do đó ta có: $$ $$ Biết rằng $$, ta thay vào: $$ $$ $$ $$ Tiếp theo, ta tính $$ dựa trên $$: $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ Bây giờ, ta cần tìm $$ và $$. Ta giả sử $$ để đơn giản hóa (vì không có thêm thông tin cụ thể về $$ và $$): $$ $$ $$ $$ $$ Cuối cùng, ta tính $$: $$ Vậy, $$ (làm tròn đến hàng phần mười). Đáp số: $$ Câu 4. Để tìm khoảng tử phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số người dự thi: Tổng số người dự thi = 20 + 7 + 14 + 9 + 20 + 8 = 78 người. 2. Tìm số người tương ứng với tử phân vị: Tử phân vị là 0,25 (tức là 25%). Số người tương ứng với tử phân vị = 0,25 × 78 = 19,5 người. 3. Xác định khoảng chứa tử phân vị: - Nhóm [0; 2,5) có 20 người. - Nhóm (2,5; 5) có 7 người. - Nhóm (5; 7,5) có 14 người. - Nhóm (7,5; 10) có 9 người. - Nhóm (10; 12,5) có 20 người. - Nhóm (12,5; 15) có 8 người. Ta thấy rằng 19,5 người nằm trong nhóm [0; 2,5). 4. Tính tử phân vị: Vì 19,5 người nằm trong nhóm [0; 2,5), nên tử phân vị sẽ nằm trong khoảng này. Do đó, khoảng tử phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là [0; 2,5). Đáp số: [0; 2,5). Câu 5. Để tìm tốc độ trung bình $$ sao cho chi phí tiền xăng $$ là thấp nhất, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định hàm chi phí $$: $$ 2. Tìm đạo hàm của $$: $$ $$ 3. Tìm điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: $$ $$ $$ $$ $$ $$ 4. Kiểm tra điều kiện $$: $$ nằm trong khoảng $$. 5. Xét dấu đạo hàm $$ để xác định tính chất cực trị: - Khi $$: $$ - Khi $$: $$ Do đó, $$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $$. 6. Tính giá trị nhỏ nhất của $$: $$ $$ $$ $$ $$ $$ Vậy, giá trị nhỏ nhất của chi phí tiền xăng là 112.5 nghìn đồng, đạt được khi tốc độ trung bình $$ km/h. Câu 6. Để tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung vị của mỗi nhóm: - Nhóm [2; 5): Trung vị là $$ - Nhóm [5; 8): Trung vị là $$ - Nhóm [8; 11): Trung vị là $$ - Nhóm [11; 14): Trung vị là $$ - Nhóm [14; 17): Trung vị là $$ 2. Tính tổng số người: Tổng số người = 5 + 7 + 13 + 17 + 17 = 59 3. Tính trung bình cộng: $$ Trong đó, $$ là tần số của nhóm thứ i và $$ là trung vị của nhóm thứ i. $$ $$ $$ 4. Tính phương sai: Phương sai $$ được tính theo công thức: $$ Ta tính từng phần: $$ $$ $$ $$ $$ Sau đó nhân với tần số tương ứng: $$ $$ $$ $$ $$ Cộng lại: $$ Cuối cùng, chia cho tổng số người: $$ Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là khoảng 14.1 (làm tròn đến hàng phần mười).