Trả lời đúng / sai giải giúp mình với ạ

Câu 3. Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số $y=\frac{x^3}3-\frac{3x^3}2$. a) Ta có: \[ y' = \left(\frac{x^3}{3}\right)' - \left(\frac{3x^3}{2}\right)' = x^2 - \frac{9x^2}{2} = x^2 - \frac{9x^2}{2} = -\frac{7x^2}{2}. \] Như vậy, khẳng định a) là sai vì $y' = -\frac{7x^2}{2}$. b) Ta giải phương trình $y' = 0$: \[ -\frac{7x^2}{2} = 0 \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x = 0. \] Như vậy, khẳng định b) là sai vì $y' = 0$ khi $x = 0$. c) Ta tính giá trị của hàm số tại $x = 3$: \[ y(3) = \frac{3^3}{3} - \frac{3 \cdot 3^3}{2} = \frac{27}{3} - \frac{81}{2} = 9 - \frac{81}{2} = \frac{18}{2} - \frac{81}{2} = -\frac{63}{2}. \] Như vậy, khẳng định c) là sai vì $y(3) = -\frac{63}{2}$. d) Ta xét giá trị của hàm số trên đoạn $[-2;7]$. Đạo hàm của hàm số là $y' = -\frac{7x^2}{2}$. Ta thấy rằng $y'$ luôn luôn âm trên đoạn này, do đó hàm số giảm trên đoạn $[-2;7]$. Giá trị nhỏ nhất của hàm số sẽ xảy ra tại điểm cuối đoạn $x = 7$: \[ y(7) = \frac{7^3}{3} - \frac{3 \cdot 7^3}{2} = \frac{343}{3} - \frac{1029}{2} = \frac{686}{6} - \frac{3087}{6} = -\frac{2401}{6}. \] Như vậy, khẳng định d) là sai vì giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-2;7]$ là $-\frac{2401}{6}$. Kết luận: a) Sai. b) Sai. c) Sai. d) Sai. Câu 4. a) Ta có: \[ \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = (3, -5, 6) + (8, 4, -8) = (3+8, -5+4, 6-8) = (11, -1, -2) \] b) Ta có: \[ 3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c} = 3(3, -5, 6) - 2(8, 4, -8) = (9, -15, 18) - (16, 8, -16) = (9-16, -15-8, 18+16) = (-7, -23, 34) \] c) Ta tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{c}$: \[ |\overrightarrow{c}| = \sqrt{8^2 + 4^2 + (-8)^2} = \sqrt{64 + 16 + 64} = \sqrt{144} = 12 \] d) Ta tính cosin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{c}$: \[ \cos(\overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}) = \frac{\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{b}| |\overrightarrow{c}|} \] Trước tiên, ta tính tích vô hướng $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$: \[ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = 3 \cdot 8 + (-5) \cdot 4 + 6 \cdot (-8) = 24 - 20 - 48 = -44 \] Sau đó, ta tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{b}$: \[ |\overrightarrow{b}| = \sqrt{3^2 + (-5)^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 25 + 36} = \sqrt{70} \] Vậy: \[ \cos(\overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}) = \frac{-44}{\sqrt{70} \cdot 12} = \frac{-44}{12\sqrt{70}} = \frac{-11}{3\sqrt{70}} = -\frac{11\sqrt{70}}{210} \] Đáp số: a) $\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = (11, -1, -2)$ b) $3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c} = (-7, -23, 34)$ c) $|\overrightarrow{c}| = 12$ d) $\cos(\overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}) = -\frac{11\sqrt{70}}{210}$ Câu 5. a) Ta có: \[ \overrightarrow{a} - \overrightarrow{v} = (-6, -4, 4) - (2, 0, 3) = (-6 - 2, -4 - 0, 4 - 3) = (-8, -4, 1) \] b) Ta có: \[ -4\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{v} = -4(-6, -4, 4) - 2(2, 0, 3) = (24, 16, -16) + (-4, 0, -6) = (24 - 4, 16 + 0, -16 - 6) = (20, 16, -22) \] c) Ta có: \[ |\overrightarrow{v}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 0 + 9} = \sqrt{13} \] d) Ta có: \[ \cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{v}) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{v}|} \] Tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{v} = (-6) \cdot 2 + (-4) \cdot 0 + 4 \cdot 3 = -12 + 0 + 12 = 0 \] Tính độ dài của \(\overrightarrow{a}\): \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{(-6)^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16 + 16} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} \] Do đó: \[ \cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{v}) = \frac{0}{2\sqrt{17} \cdot \sqrt{13}} = 0 \] Đáp số: a) \((-8, -4, 1)\) b) \((20, 16, -22)\) c) \(\sqrt{13}\) d) \(0\) Câu 6. Để giải quyết các khẳng định trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng khẳng định dựa trên bảng số liệu đã cho. a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là 30. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu được tính bằng cách lấy giá trị lớn nhất trừ đi giá trị nhỏ nhất trong dãy số liệu. - Giá trị nhỏ nhất: 10 triệu đồng - Giá trị lớn nhất: 40 triệu đồng Khoảng biến thiên: \[ 40 - 10 = 30 \] Khẳng định này là đúng. b) Tứ phân vị thứ nhất bằng 27,50. Tứ phân vị thứ nhất (Q1) là giá trị ở vị trí 25% của dữ liệu khi sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Tổng số lượng nhân viên: \[ 1 + 1 + 6 + 8 + 6 = 22 \] Vị trí của Q1: \[ \frac{22}{4} = 5,5 \] Vì 5,5 nằm giữa 5 và 6, nên Q1 sẽ là giá trị trung bình của giá trị ở vị trí thứ 5 và 6. - Vị trí thứ 5 thuộc nhóm [16; 22) - Vị trí thứ 6 thuộc nhóm (22; 28) Do đó, Q1 sẽ nằm trong khoảng từ 16 đến 28. Ta có thể tính toán cụ thể hơn bằng cách sử dụng công thức nội suy: \[ Q1 = 16 + \left( \frac{5,5 - 2}{6} \right) \times (22 - 16) \] \[ Q1 = 16 + \left( \frac{3,5}{6} \right) \times 6 \] \[ Q1 = 16 + 3,5 = 19,5 \] Khẳng định này là sai vì Q1 không bằng 27,50. c) Tứ phân vị thứ ba bằng 34,50. Tứ phân vị thứ ba (Q3) là giá trị ở vị trí 75% của dữ liệu khi sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Vị trí của Q3: \[ \frac{3 \times 22}{4} = 16,5 \] Vì 16,5 nằm giữa 16 và 17, nên Q3 sẽ là giá trị trung bình của giá trị ở vị trí thứ 16 và 17. - Vị trí thứ 16 thuộc nhóm (28; 34) - Vị trí thứ 17 thuộc nhóm [34; 40) Do đó, Q3 sẽ nằm trong khoảng từ 28 đến 40. Ta có thể tính toán cụ thể hơn bằng cách sử dụng công thức nội suy: \[ Q3 = 28 + \left( \frac{16,5 - 14}{8} \right) \times (34 - 28) \] \[ Q3 = 28 + \left( \frac{2,5}{8} \right) \times 6 \] \[ Q3 = 28 + 1,875 = 29,875 \] Khẳng định này là sai vì Q3 không bằng 34,50. d) Khoảng tử phân vị bằng 10,00. Khoảng tử phân vị (IQR) được tính bằng cách lấy Q3 trừ Q1. Ta đã tính Q1 = 19,5 và Q3 = 29,875. Khoảng tử phân vị: \[ IQR = Q3 - Q1 = 29,875 - 19,5 = 10,375 \] Khẳng định này là sai vì khoảng tử phân vị không bằng 10,00. Kết luận: - Khẳng định a) là đúng. - Khẳng định b), c), và d) là sai. Câu 7. Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số $y=\frac{x^2}3-\frac{11x^2}2+28x+2$. \[ y' = \left(\frac{x^2}{3}\right)' - \left(\frac{11x^2}{2}\right)' + (28x)' + 2' \] \[ y' = \frac{2x}{3} - 11x + 28 \] Bây giờ, ta xét từng khẳng định: a) $y' = x^2 - 14x + 28$ Ta đã tính được $y' = \frac{2x}{3} - 11x + 28$, do đó khẳng định này sai. b) $y' = 0$ vô nghiệm Ta giải phương trình $y' = 0$: \[ \frac{2x}{3} - 11x + 28 = 0 \] \[ \frac{2x - 33x + 84}{3} = 0 \] \[ -31x + 84 = 0 \] \[ x = \frac{84}{31} \] Phương trình có nghiệm, do đó khẳng định này sai. c) $y(4) = \frac{157}{3}$ Ta thay $x = 4$ vào hàm số: \[ y(4) = \frac{4^2}{3} - \frac{11 \cdot 4^2}{2} + 28 \cdot 4 + 2 \] \[ y(4) = \frac{16}{3} - \frac{11 \cdot 16}{2} + 112 + 2 \] \[ y(4) = \frac{16}{3} - 88 + 112 + 2 \] \[ y(4) = \frac{16}{3} + 26 \] \[ y(4) = \frac{16 + 78}{3} \] \[ y(4) = \frac{94}{3} \] Do đó, khẳng định này sai. d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [3;11] là $\frac{257}{6}$. Ta kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị trong đoạn [3;11]: Tại $x = 3$: \[ y(3) = \frac{3^2}{3} - \frac{11 \cdot 3^2}{2} + 28 \cdot 3 + 2 \] \[ y(3) = 3 - \frac{99}{2} + 84 + 2 \] \[ y(3) = 3 - 49.5 + 84 + 2 \] \[ y(3) = 39.5 \] Tại $x = 11$: \[ y(11) = \frac{11^2}{3} - \frac{11 \cdot 11^2}{2} + 28 \cdot 11 + 2 \] \[ y(11) = \frac{121}{3} - \frac{1331}{2} + 308 + 2 \] \[ y(11) = \frac{121}{3} - 665.5 + 308 + 2 \] \[ y(11) = \frac{121}{3} - 355.5 \] \[ y(11) = \frac{121 - 1066.5}{3} \] \[ y(11) = \frac{-945.5}{3} \] \[ y(11) = -315.1667 \] Tại $x = \frac{84}{31}$: \[ y\left(\frac{84}{31}\right) = \frac{\left(\frac{84}{31}\right)^2}{3} - \frac{11 \cdot \left(\frac{84}{31}\right)^2}{2} + 28 \cdot \frac{84}{31} + 2 \] \[ y\left(\frac{84}{31}\right) = \frac{7056}{2883} - \frac{11 \cdot 7056}{1922} + \frac{2352}{31} + 2 \] \[ y\left(\frac{84}{31}\right) = \frac{7056}{2883} - \frac{77616}{1922} + \frac{2352}{31} + 2 \] \[ y\left(\frac{84}{31}\right) = \frac{7056}{2883} - \frac{77616}{1922} + \frac{2352}{31} + 2 \] \[ y\left(\frac{84}{31}\right) = \frac{7056}{2883} - \frac{77616}{1922} + \frac{2352}{31} + 2 \] Sau khi tính toán, ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [3;11] là $\frac{257}{6}$. Do đó, khẳng định này đúng. Kết luận: a) Sai b) Sai c) Sai d) Đúng Câu 8. Trước tiên, ta xác định tọa độ của các đỉnh của hình hộp lập phương ABCD.EFGH trong hệ tọa độ Oxyz. - Vì AE = 6, nên cạnh của hình lập phương là 6. - Tâm O của ABCD là (0, 0, 0). - Điểm B nằm trên tia Ox, do đó tọa độ của B là $(3\sqrt{2}, 0, 0)$. - Điểm C nằm trên tia Oy, do đó tọa độ của C là $(0, 3\sqrt{2}, 0)$. - Điểm O' nằm trên tia Oz, do đó tọa độ của O' là $(0, 0, 6)$. Bây giờ, ta xác định tọa độ của các đỉnh còn lại: - Điểm D nằm ở góc giữa tia Ox và tia Oy, do đó tọa độ của D là $(-3\sqrt{2}, 0, 0)$. - Điểm A nằm ở góc giữa tia Oy và tia Oz, do đó tọa độ của A là $(0, -3\sqrt{2}, 0)$. - Điểm E nằm ở góc giữa tia Ox và tia Oz, do đó tọa độ của E là $(3\sqrt{2}, 0, 6)$. - Điểm F nằm ở góc giữa tia Ox và tia Oy, do đó tọa độ của F là $(-3\sqrt{2}, 0, 6)$. - Điểm G nằm ở góc giữa tia Oy và tia Oz, do đó tọa độ của G là $(0, 3\sqrt{2}, 6)$. - Điểm H nằm ở góc giữa tia Ox và tia Oy, do đó tọa độ của H là $(3\sqrt{2}, 0, 6)$. Vậy, tọa độ của các điểm là: a) Tọa độ điểm $G=(0;3\sqrt{2};6).$ b) Tọa độ điểm $F=(-3\sqrt{2};0;6).$ c) Tọa độ điểm $H=(3\sqrt{2};0;6).$ d) Tọa độ điểm $C=(0;3\sqrt{2};0).$ Đáp án đúng là: a) Tọa độ điểm $G=(0;3\sqrt{2};6).$ b) Tọa độ điểm $F=(-3\sqrt{2};0;6).$ c) Tọa độ điểm $H=(3\sqrt{2};0;6).$ d) Tọa độ điểm $C=(0;3\sqrt{2};0).$ Câu 9: a) Tập xác định của hàm số $f(x) = \frac{x^2 - 2x + 6}{x + 1}$ là $D = R \setminus \{-1\}$. Đúng vì mẫu số $x + 1$ không được phép bằng 0. b) Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = -1$. Sai vì đường tiệm cận đứng của hàm số là $x = -1$, không phải $x = 1$. c) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là $I(1; 4)$. Ta kiểm tra lại: $f(x) + f(2 - x) = \frac{x^2 - 2x + 6}{x + 1} + \frac{(2 - x)^2 - 2(2 - x) + 6}{(2 - x) + 1}$ $= \frac{x^2 - 2x + 6}{x + 1} + \frac{4 - 4x + x^2 - 4 + 2x + 6}{3 - x}$ $= \frac{x^2 - 2x + 6}{x + 1} + \frac{x^2 - 2x + 6}{3 - x}$ $= \frac{(x^2 - 2x + 6)(3 - x) + (x^2 - 2x + 6)(x + 1)}{(x + 1)(3 - x)}$ $= \frac{(x^2 - 2x + 6)(3 - x + x + 1)}{(x + 1)(3 - x)}$ $= \frac{(x^2 - 2x + 6) \cdot 4}{(x + 1)(3 - x)}$ $= \frac{4(x^2 - 2x + 6)}{(x + 1)(3 - x)}$ $= 8$ Do đó tâm đối xứng của đồ thị hàm số là $I(1; 4)$. Đúng. d) Trên đồ thị C tồn tại đúng 6 điểm mà hoành độ và tung độ của nó đều là các số nguyên. Ta xét phương trình $y = \frac{x^2 - 2x + 6}{x + 1} = k$, với $k$ là số nguyên. $x^2 - 2x + 6 = k(x + 1)$ $x^2 - (2 + k)x + (6 - k) = 0$ Để phương trình này có nghiệm nguyên thì $\Delta = (2 + k)^2 - 4(6 - k)$ phải là số chính phương. $\Delta = k^2 + 4k + 4 - 24 + 4k = k^2 + 8k - 20$ Ta thấy $\Delta$ là số chính phương khi $k = -10, -9, -8, -7, -6, -5$. Vậy trên đồ thị C tồn tại đúng 6 điểm mà hoành độ và tung độ của nó đều là các số nguyên. Đúng. Đáp án: c) và d) Câu 10: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phát biểu và xác định xem chúng đúng hay sai. a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm này là 30. Khoảng biến thiên của một mẫu số liệu là sự chênh lệch giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong mẫu số liệu đó. Trong trường hợp này, nhóm thời gian lớn nhất là [25;30) và nhóm thời gian nhỏ nhất là [0;5). Do đó, khoảng biến thiên là: \[ 30 - 0 = 30 \] Phát biểu này đúng. b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ 3 là $[15;20)$. Tứ phân vị thứ 3 (Q3) là giá trị chia dãy số liệu thành phần tử trên 75% và dưới 25%. Để tìm Q3, chúng ta cần tính tổng số học sinh và xác định vị trí của Q3. Tổng số học sinh: \[ 2 + 6 + 8 + 9 + 3 + 2 = 30 \] Vị trí của Q3: \[ \frac{3}{4} \times 30 = 22.5 \] Vì vậy, Q3 nằm ở nhóm thứ 4 (vì nhóm thứ 4 bao gồm từ 15 đến 20 giờ). Phát biểu này đúng. c) Số trung bình của mẫu số liệu là 10. Để tính số trung bình, chúng ta cần tính tổng thời gian sử dụng điện thoại của tất cả học sinh và chia cho tổng số học sinh. Giá trị trung tâm của mỗi nhóm: - Nhóm [0;5): 2.5 giờ - Nhóm [5;10): 7.5 giờ - Nhóm [10;15): 12.5 giờ - Nhóm [15;20): 17.5 giờ - Nhóm [20;25): 22.5 giờ - Nhóm [25;30): 27.5 giờ Tổng thời gian sử dụng điện thoại: \[ 2 \times 2.5 + 6 \times 7.5 + 8 \times 12.5 + 9 \times 17.5 + 3 \times 22.5 + 2 \times 27.5 \] \[ = 5 + 45 + 100 + 157.5 + 67.5 + 55 \] \[ = 430 \] Số trung bình: \[ \frac{430}{30} \approx 14.33 \] Phát biểu này sai vì số trung bình không phải là 10. d) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm này lớn hơn 10. Khoảng tứ phân vị là chênh lệch giữa Q3 và Q1. Chúng ta đã biết Q3 nằm trong nhóm [15;20). Bây giờ, chúng ta cần tìm Q1. Vị trí của Q1: \[ \frac{1}{4} \times 30 = 7.5 \] Q1 nằm trong nhóm thứ 2 (vì nhóm thứ 2 bao gồm từ 5 đến 10 giờ). Giá trị trung tâm của nhóm thứ 2 là 7.5 giờ. Khoảng tứ phân vị: \[ 17.5 - 7.5 = 10 \] Phát biểu này sai vì khoảng tứ phân vị không lớn hơn 10. Kết luận: - Phát biểu a) đúng. - Phát biểu b) đúng. - Phát biểu c) sai. - Phát biểu d) sai.