Giải hộ mình câu này với các bạn

Câu 45: Trước tiên, ta biết rằng $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Vì $\sin\alpha = \frac{4}{5}$, ta có: \[ \left(\frac{4}{5}\right)^2 + \cos^2\alpha = 1 \] \[ \frac{16}{25} + \cos^2\alpha = 1 \] \[ \cos^2\alpha = 1 - \frac{16}{25} \] \[ \cos^2\alpha = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} \] \[ \cos^2\alpha = \frac{9}{25} \] Vì $\alpha$ là góc tù, $\cos\alpha$ sẽ là số âm. Do đó: \[ \cos\alpha = -\frac{3}{5} \] Bây giờ, ta tính giá trị của biểu thức $A = 2\sin\alpha - \cos\alpha$: \[ A = 2 \cdot \frac{4}{5} - \left(-\frac{3}{5}\right) \] \[ A = \frac{8}{5} + \frac{3}{5} \] \[ A = \frac{11}{5} \] Vậy giá trị của biểu thức $A$ là $\frac{11}{5}$. Đáp án đúng là: D. $\frac{11}{5}$. Câu 46: Để tính giá trị của biểu thức \( E = \frac{\cot\alpha + 3\tan\alpha}{2\cot\alpha + \tan\alpha} \) khi biết \(\cos\alpha = -\frac{2}{3}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị của \(\sin\alpha\) từ \(\cos\alpha\): \[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \] Thay \(\cos\alpha = -\frac{2}{3}\): \[ \sin^2\alpha + \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2\alpha + \frac{4}{9} = 1 \] \[ \sin^2\alpha = 1 - \frac{4}{9} \] \[ \sin^2\alpha = \frac{9}{9} - \frac{4}{9} \] \[ \sin^2\alpha = \frac{5}{9} \] Do \(\cos\alpha = -\frac{2}{3}\) là âm, suy ra \(\alpha\) thuộc góc phần tư thứ hai, nơi mà \(\sin\alpha\) dương: \[ \sin\alpha = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \] 2. Tính giá trị của \(\tan\alpha\) và \(\cot\alpha\): \[ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}} = -\frac{\sqrt{5}}{2} \] \[ \cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{1}{-\frac{\sqrt{5}}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5} \] 3. Thay giá trị của \(\tan\alpha\) và \(\cot\alpha\) vào biểu thức \(E\): \[ E = \frac{\cot\alpha + 3\tan\alpha}{2\cot\alpha + \tan\alpha} \] Thay \(\cot\alpha = -\frac{2\sqrt{5}}{5}\) và \(\tan\alpha = -\frac{\sqrt{5}}{2}\): \[ E = \frac{-\frac{2\sqrt{5}}{5} + 3\left(-\frac{\sqrt{5}}{2}\right)}{2\left(-\frac{2\sqrt{5}}{5}\right) + \left(-\frac{\sqrt{5}}{2}\right)} \] \[ E = \frac{-\frac{2\sqrt{5}}{5} - \frac{3\sqrt{5}}{2}}{-\frac{4\sqrt{5}}{5} - \frac{\sqrt{5}}{2}} \] Quy đồng mẫu số: \[ E = \frac{-\frac{4\sqrt{5}}{10} - \frac{15\sqrt{5}}{10}}{-\frac{8\sqrt{5}}{10} - \frac{5\sqrt{5}}{10}} \] \[ E = \frac{-\frac{19\sqrt{5}}{10}}{-\frac{13\sqrt{5}}{10}} \] \[ E = \frac{19\sqrt{5}}{13\sqrt{5}} = \frac{19}{13} \] Vậy giá trị của biểu thức \(E\) là \(\frac{19}{13}\). Đáp án đúng là: B. \(\frac{19}{13}\). Câu 47: Để tính diện tích tam giác \(ABC\) với \(a = 4\), \(c = 5\), và \(\widehat{B} = 150^\circ\), ta sử dụng công thức tính diện tích tam giác dựa trên hai cạnh và góc giữa chúng: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin(B) \] Trước tiên, ta cần biết giá trị của \(\sin(150^\circ)\). Ta có: \[ \sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \] Bây giờ, ta thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{5}{2} \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 10 \] \[ S = 5 \] Vậy diện tích tam giác \(ABC\) là \(5\). Đáp án đúng là: C. \(S = 5\). Câu 48: Để tính diện tích tam giác ABC, ta sử dụng công thức tính diện tích dựa trên hai cạnh và góc giữa chúng: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2}bc \sin A \] Trong đó: - \( b = 10 \) - \( c = 20 \) - \( \widehat{A} = 60^\circ \) Biết rằng \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), ta thay các giá trị này vào công thức: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 10 \times 20 \times \sin 60^\circ \] \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 10 \times 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 10 \times 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 10 \times 10 \sqrt{3} \] \[ S_{ABC} = 5 \times 10 \sqrt{3} \] \[ S_{ABC} = 50 \sqrt{3} \] Vậy diện tích tam giác ABC là \( 50 \sqrt{3} \). Đáp án đúng là: C. \( 50 \sqrt{3} \). Câu 49: Để tính diện tích tam giác có độ dài ba cạnh lần lượt là 9, 10, 11, ta sử dụng công thức Heron. Bước 1: Tính nửa chu vi \( p \) của tam giác: \[ p = \frac{9 + 10 + 11}{2} = 15 \] Bước 2: Áp dụng công thức Heron để tính diện tích \( S \): \[ S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} \] Trong đó, \( a = 9 \), \( b = 10 \), \( c = 11 \). Thay các giá trị vào công thức: \[ S = \sqrt{15(15 - 9)(15 - 10)(15 - 11)} \] \[ S = \sqrt{15 \times 6 \times 5 \times 4} \] \[ S = \sqrt{15 \times 6 \times 5 \times 4} \] \[ S = \sqrt{1800} \] \[ S = \sqrt{36 \times 50} \] \[ S = 6 \sqrt{50} \] \[ S = 6 \sqrt{25 \times 2} \] \[ S = 6 \times 5 \sqrt{2} \] \[ S = 30 \sqrt{2} \] Vậy diện tích của tam giác là \( 30 \sqrt{2} \). Đáp án đúng là: B. \( 30 \sqrt{2} \). Câu 50: Để tìm số đo góc \(A\) trong tam giác \(ABC\) với các cạnh \(AB = 5\), \(BC = 7\), và \(AC = 8\), ta sẽ sử dụng Định lý Cosine. Theo Định lý Cosine: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(A) \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ 7^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos(A) \] \[ 49 = 25 + 64 - 80 \cdot \cos(A) \] \[ 49 = 89 - 80 \cdot \cos(A) \] \[ 80 \cdot \cos(A) = 89 - 49 \] \[ 80 \cdot \cos(A) = 40 \] \[ \cos(A) = \frac{40}{80} \] \[ \cos(A) = \frac{1}{2} \] Biết rằng \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\), suy ra góc \(A = 60^\circ\). Do đó, đáp án đúng là: E. \(60^\circ\). Câu 51: Áp dụng định lý余弦定理（在高中数学中称为余弦定理）到三角形ABC，我们可以找到边AC的长度。余弦定理公式为： \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\widehat{B}) \] 代入已知值： \[ AB = 10, \] \[ BC = 6, \] \[ \widehat{B} = 60^\circ, \] \[ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}. \] 将这些值代入公式中： \[ AC^2 = 10^2 + 6^2 - 2 \cdot 10 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} \] \[ AC^2 = 100 + 36 - 60 \] \[ AC^2 = 136 - 60 \] \[ AC^2 = 76 \] 因此， \[ AC = \sqrt{76} = 2\sqrt{19}. \] 所以，边AC的长度是$2\sqrt{19}$。 答案是：A. $2\sqrt{19}$。 Câu 52: Áp dụng định lý余弦定理，我们可以计算出角B的余弦值。根据余弦定理： \[ \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \] 代入已知边长 \(a = 6 \, \text{cm}\)，\(b = 7 \, \text{cm}\)，\(c = 5 \, \text{cm}\)： \[ \cos B = \frac{6^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 6 \cdot 5} \] \[ \cos B = \frac{36 + 25 - 49}{60} \] \[ \cos B = \frac{12}{60} \] \[ \cos B = \frac{1}{5} \] 因此，正确答案是选项A：$\cos B = \frac{1}{5}$。 最终答案是：$\boxed{\frac{1}{5}}$。 Câu 53: Ta áp dụng Định lý Cosin trong tam giác ABC: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \] Biết rằng \(\widehat{A} = 120^\circ\), ta có: \[ \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} \] Thay vào công thức trên: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \left(-\frac{1}{2}\right) \] \[ a^2 = b^2 + c^2 + bc \] Vậy câu đúng là: D. \(a^2 = b^2 + c^2 + bc\) Đáp án: D. \(a^2 = b^2 + c^2 + bc\) Câu 54: Để xác định ký hiệu đúng của vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là B, chúng ta cần hiểu rõ về cách ký hiệu vectơ trong toán học. - Vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là B được ký hiệu là $\overrightarrow{AB}$. Do đó, đáp án đúng là: B. $\overrightarrow{AB}$ Lập luận từng bước: 1. Vectơ được ký hiệu bằng hai chữ cái, chữ cái đầu tiên là điểm đầu của vectơ và chữ cái thứ hai là điểm cuối của vectơ. 2. Ký hiệu này được viết dưới dạng vectơ, tức là có dấu mũi tên ở trên đầu hai chữ cái. Vậy, vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là B được ký hiệu là $\overrightarrow{AB}$. Câu 55: Trong tam giác ABC, ta có ba đỉnh là A, B và C. Để xác định các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của tam giác, ta có thể làm như sau: 1. Vectơ có điểm đầu là A: - Vectơ từ A đến B: $\overrightarrow{AB}$ - Vectơ từ A đến C: $\overrightarrow{AC}$ 2. Vectơ có điểm đầu là B: - Vectơ từ B đến A: $\overrightarrow{BA}$ - Vectơ từ B đến C: $\overrightarrow{BC}$ 3. Vectơ có điểm đầu là C: - Vectơ từ C đến A: $\overrightarrow{CA}$ - Vectơ từ C đến B: $\overrightarrow{CB}$ Như vậy, tổng cộng ta có 6 vectơ khác vectơ không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của tam giác ABC. Đáp án đúng là: B. 6.