Kkkkkkkkkkkkk

Câu 2. Để chi phí xây dựng bờ rào xung quanh khu vườn là ít tốn kém nhất, ta cần tối thiểu hóa chu vi của khu vườn. Ta biết rằng diện tích của khu vườn là 100 m², tức là \( ab = 100 \). Chu vi của khu vườn là: \[ P = 2(a + b) \] Ta cần tìm giá trị của \( a \) và \( b \) sao cho chu vi \( P \) là nhỏ nhất. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm. Bước 1: Biểu diễn \( b \) theo \( a \): \[ b = \frac{100}{a} \] Bước 2: Biểu diễn chu vi \( P \) theo \( a \): \[ P = 2 \left( a + \frac{100}{a} \right) \] Bước 3: Tìm đạo hàm của \( P \) theo \( a \): \[ \frac{dP}{da} = 2 \left( 1 - \frac{100}{a^2} \right) \] Bước 4: Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm giá trị của \( a \): \[ 2 \left( 1 - \frac{100}{a^2} \right) = 0 \] \[ 1 - \frac{100}{a^2} = 0 \] \[ \frac{100}{a^2} = 1 \] \[ a^2 = 100 \] \[ a = 10 \quad (\text{vì } a > 0) \] Bước 5: Tính giá trị của \( b \): \[ b = \frac{100}{a} = \frac{100}{10} = 10 \] Bước 6: Tính giá trị của \( a + 2b \): \[ a + 2b = 10 + 2 \times 10 = 10 + 20 = 30 \] Vậy kết quả của \( a + 2b \) là 30. Đáp số: 30 Câu 3. Trước tiên, ta xác định các vectơ cần thiết để biểu diễn $\overrightarrow{A'M}$ theo các vectơ $\overrightarrow{AA'}$, $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$. 1. Ta có: \[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \] 2. Điểm M nằm trên đoạn AC sao cho $AM = \frac{2}{3}AC$. Do đó: \[ \overrightarrow{AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} = \frac{2}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) \] 3. Ta cũng có: \[ \overrightarrow{A'M} = \overrightarrow{A'A} + \overrightarrow{AM} = -\overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AM} \] 4. Thay $\overrightarrow{AM}$ vào: \[ \overrightarrow{A'M} = -\overrightarrow{AA'} + \frac{2}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) \] 5. Biểu diễn $\overrightarrow{A'M}$ dưới dạng tổng của các vectơ $\overrightarrow{AA'}$, $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$: \[ \overrightarrow{A'M} = -\overrightarrow{AA'} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AD} \] 6. So sánh với $\overrightarrow{A'M} = x\overrightarrow{AA'} + y\overrightarrow{AB} + z\overrightarrow{AD}$, ta nhận thấy: \[ x = -1, \quad y = \frac{2}{3}, \quad z = \frac{2}{3} \] 7. Tính $x + y + z$: \[ x + y + z = -1 + \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = -1 + \frac{4}{3} = \frac{-3 + 4}{3} = \frac{1}{3} \] 8. Vậy $\frac{a}{b} = \frac{1}{3}$, suy ra $a = 1$ và $b = 3$. Do đó: \[ a + b = 1 + 3 = 4 \] Đáp số: $a + b = 4$. Câu 4. Trước tiên, ta xác định tọa độ của các điểm trong hệ tọa độ Oxyz: - Tâm O của hình vuông ABCD là giao điểm của các đường chéo, do đó tọa độ của O là (0; 0; 0). - Điểm A nằm trên tia Ox, cách O một khoảng bằng nửa cạnh đáy, tức là 3 đơn vị, nên tọa độ của A là (3; -3; 0). - Điểm B nằm trên tia Oy, cách O một khoảng bằng nửa cạnh đáy, tức là 3 đơn vị, nên tọa độ của B là (-3; 3; 0). - Điểm D nằm trên tia Ox, cách O một khoảng bằng nửa cạnh đáy, tức là 3 đơn vị, nên tọa độ của D là (3; 3; 0). - Điểm S nằm trên tia Oz, cách O một khoảng bằng chiều cao của chóp, tức là 12 đơn vị, nên tọa độ của S là (0; 0; 12). Tiếp theo, ta xác định tọa độ của các điểm K, M và N: - Điểm K là trung điểm của AD, do đó tọa độ của K là: \[ K = \left( \frac{3 + 3}{2}; \frac{-3 + 3}{2}; \frac{0 + 0}{2} \right) = (3; 0; 0) \] - Điểm M là trung điểm của SK, do đó tọa độ của M là: \[ M = \left( \frac{0 + 3}{2}; \frac{0 + 0}{2}; \frac{12 + 0}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}; 0; 6 \right) \] - Điểm N thuộc cạnh SB sao cho \( SN = 2NB \), tức là N chia SB thành tỉ số 2:1. Do đó, tọa độ của N là: \[ N = \left( \frac{2 \cdot (-3) + 1 \cdot 0}{2 + 1}; \frac{2 \cdot 3 + 1 \cdot 0}{2 + 1}; \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot 12}{2 + 1} \right) = \left( -2; 2; 4 \right) \] Bây giờ, ta tính tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{MN}\): \[ \overrightarrow{MN} = N - M = \left( -2 - \frac{3}{2}; 2 - 0; 4 - 6 \right) = \left( -\frac{7}{2}; 2; -2 \right) \] Cuối cùng, ta tính giá trị \( x_0 + y_0 + z_0 \): \[ x_0 + y_0 + z_0 = -\frac{7}{2} + 2 - 2 = -\frac{7}{2} + 2 - 2 = -\frac{7}{2} - 0 = -3.5 \] Vậy giá trị \( x_0 + y_0 + z_0 \) là \(-3.5\). Câu 5. Để giải bài toán này, chúng ta cần tính toán chi phí hoạt động của công ty dựa trên số máy móc sử dụng và thời gian hoạt động của chúng. Chúng ta sẽ tìm số máy móc tối ưu để chi phí hoạt động là thấp nhất. Bước 1: Xác định các thông số đã biết: - Tổng số quả bóng cần sản xuất: 8000 quả. - Mỗi máy sản xuất được 30 quả bóng trong một giờ. - Chi phí thiết lập mỗi máy: 200 nghìn đồng. - Chi phí giám sát mỗi giờ: 192 nghìn đồng. Bước 2: Xác định số máy móc cần thiết: Giả sử công ty sử dụng \( n \) máy móc. Thời gian để sản xuất 8000 quả bóng là: \[ t = \frac{8000}{30n} = \frac{800}{3n} \text{ giờ} \] Bước 3: Tính tổng chi phí: Chi phí thiết lập các máy móc: \[ C_{\text{thiết lập}} = 200n \text{ nghìn đồng} \] Chi phí giám sát: \[ C_{\text{giám sát}} = 192 \times \frac{800}{3n} = \frac{153600}{3n} = \frac{51200}{n} \text{ nghìn đồng} \] Tổng chi phí: \[ C_{\text{tổng}} = 200n + \frac{51200}{n} \text{ nghìn đồng} \] Bước 4: Tìm giá trị \( n \) để chi phí tổng là thấp nhất: Để tìm giá trị \( n \) tối ưu, chúng ta sẽ tính đạo hàm của \( C_{\text{tổng}} \) theo \( n \) và tìm điểm cực tiểu. \[ C_{\text{tổng}} = 200n + \frac{51200}{n} \] Tính đạo hàm: \[ \frac{dC_{\text{tổng}}}{dn} = 200 - \frac{51200}{n^2} \] Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực tiểu: \[ 200 - \frac{51200}{n^2} = 0 \] \[ 200 = \frac{51200}{n^2} \] \[ n^2 = \frac{51200}{200} \] \[ n^2 = 256 \] \[ n = 16 \] Bước 5: Kiểm tra giá trị \( n = 16 \): \[ C_{\text{tổng}} = 200 \times 16 + \frac{51200}{16} = 3200 + 3200 = 6400 \text{ nghìn đồng} \] Vậy, công ty nên sử dụng 16 máy móc để chi phí hoạt động là thấp nhất. Đáp số: 16 máy móc. Câu 6. Để tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi biểu đồ, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tổng số lượng dữ liệu: - Tổng số lượng cây keo là 200 cây. 2. Xác định vị trí của các tứ phân vị: - Tứ phân vị thứ nhất (Q1) nằm ở vị trí $\frac{1}{4} \times 200 = 50$. - Tứ phân vị thứ ba (Q3) nằm ở vị trí $\frac{3}{4} \times 200 = 150$. 3. Xác định các khoảng nhóm từ biểu đồ: - Giả sử các khoảng nhóm và tần số tương ứng từ biểu đồ là: - Khoảng 1: [0, 10) với tần số 20 - Khoảng 2: [10, 20) với tần số 30 - Khoảng 3: [20, 30) với tần số 50 - Khoảng 4: [30, 40) với tần số 60 - Khoảng 5: [40, 50) với tần số 40 4. Xác định Q1: - Tính tổng tần số đến trước khi đạt 50: - Khoảng 1: 20 - Khoảng 2: 20 + 30 = 50 - Q1 nằm trong khoảng [10, 20). - Sử dụng công thức để tính Q1: \[ Q1 = 10 + \left( \frac{50 - 20}{30} \right) \times 10 = 10 + \frac{30}{30} \times 10 = 10 + 10 = 20 \] 5. Xác định Q3: - Tính tổng tần số đến trước khi đạt 150: - Khoảng 1: 20 - Khoảng 2: 20 + 30 = 50 - Khoảng 3: 50 + 50 = 100 - Khoảng 4: 100 + 60 = 160 - Q3 nằm trong khoảng [30, 40). - Sử dụng công thức để tính Q3: \[ Q3 = 30 + \left( \frac{150 - 100}{60} \right) \times 10 = 30 + \frac{50}{60} \times 10 = 30 + 8.33 = 38.33 \] 6. Tính khoảng tứ phân vị: - Khoảng tứ phân vị = Q3 - Q1 - Khoảng tứ phân vị = 38.33 - 20 = 18.33 Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là 18.3 (làm tròn đến hàng phần chục). Đáp số: 18.3 Câu 1. Để xác định khoảng đồng biến của hàm số \( y = f(x) \), ta dựa vào bảng xét dấu đạo hàm \( f'(x) \). Trong bảng xét dấu đạo hàm: - Khi \( f'(x) > 0 \), hàm số \( y = f(x) \) đồng biến. - Khi \( f'(x) < 0 \), hàm số \( y = f(x) \) nghịch biến. Ta thấy từ bảng xét dấu đạo hàm: - \( f'(x) > 0 \) trên khoảng \( (-\infty, -1) \) và \( (2, +\infty) \). - \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \( (-1, 2) \). Do đó, hàm số \( y = f(x) \) đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, -1) \) và \( (2, +\infty) \). Từ các đáp án được đưa ra: - \( A.~(-\infty;0) \) - \( B.~(2;+\infty) \) - \( C.~(0;+\infty) \) - \( D.~(-1;2) \) Chúng ta thấy rằng khoảng \( (2; +\infty) \) nằm trong các khoảng mà hàm số đồng biến. Vậy đáp án đúng là: \[ B.~(2;+\infty) \] Câu 2. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$, ta có thể suy ra các tính chất và hành vi của hàm số như sau: 1. Giá trị cực đại và cực tiểu: - Hàm số đạt cực đại tại điểm $x = -1$ với giá trị cực đại là $f(-1) = 3$. - Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 1$ với giá trị cực tiểu là $f(1) = -1$. 2. Điểm uốn: - Hàm số có điểm uốn tại $x = 0$, nơi mà đồ thị của hàm số thay đổi từ lõm xuống sang lõm lên hoặc ngược lại. 3. Hành vi khi tiến đến vô cùng: - Khi $x \to -\infty$, giá trị của hàm số $f(x) \to -\infty$. - Khi $x \to +\infty$, giá trị của hàm số $f(x) \to +\infty$. 4. Đơn điệu: - Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty, -1)$ và $(1, +\infty)$. - Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1, 1)$. 5. Giới hạn: - $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ Tóm lại, dựa vào bảng biến thiên, ta đã xác định được các tính chất quan trọng của hàm số $y = f(x)$ bao gồm giá trị cực đại, cực tiểu, điểm uốn, hành vi khi tiến đến vô cùng và các khoảng đồng biến, nghịch biến.