Làm hộ mình trắc nghiệm đúng sai

Câu 13: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ lần lượt tính các giới hạn và kiểm tra từng lựa chọn. Bước 1: Tính giới hạn $\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 + 1}{3n^2 - 3n + 3}$ Ta chia cả tử và mẫu cho $n^2$: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 + 1}{3n^2 - 3n + 3} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{n^2}}{3 - \frac{3}{n} + \frac{3}{n^2}} \] Khi $n \to \infty$, các phân số $\frac{1}{n^2}$, $\frac{3}{n}$ và $\frac{3}{n^2}$ đều tiến đến 0. Do đó: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{n^2}}{3 - \frac{3}{n} + \frac{3}{n^2}} = \frac{2 + 0}{3 - 0 + 0} = \frac{2}{3} \] Vậy $a = \frac{2}{3}$. Bước 2: Tính giới hạn $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2 + 1}}{2n - 3}$ Ta chia cả tử và mẫu cho $n$: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2 + 1}}{2n - 3} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}}}{2 - \frac{3}{n}} \] Khi $n \to \infty$, các phân số $\frac{1}{n^2}$ và $\frac{3}{n}$ đều tiến đến 0. Do đó: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}}}{2 - \frac{3}{n}} = \frac{\sqrt{1 + 0}}{2 - 0} = \frac{1}{2} \] Vậy $b = \frac{1}{2}$. Bước 3: Kiểm tra từng lựa chọn a) Giá trị của $a$ nhỏ hơn 0: \[ a = \frac{2}{3} > 0 \quad \text{(Sai)} \] b) Giá trị của $b$ lớn hơn 0: \[ b = \frac{1}{2} > 0 \quad \text{(Đúng)} \] c) Phương trình lượng giác $\cos x = a$ có nghiệm là $x = \frac{\pi}{2}$: \[ \cos x = \frac{2}{3} \neq 0 \quad \text{(Sai vì } \cos \frac{\pi}{2} = 0) \] d) Cho cấp số cộng $(u_n)$ có công sai $d = b$ và $u_1 = a$, thì $u_3 = \frac{3}{2}$: \[ u_3 = u_1 + 2d = \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3} \neq \frac{3}{2} \quad \text{(Sai)} \] Kết luận Lựa chọn đúng là: b) Giá trị của $b$ lớn hơn 0.