Có địch, cứu tôi

Câu 4. Để tính giới hạn $\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{3n+1}{n+4}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chia cả tử số và mẫu số cho n: \[ \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{3n+1}{n+4} = \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\frac{3n}{n} + \frac{1}{n}}{\frac{n}{n} + \frac{4}{n}} = \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{3 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{4}{n}} \] Bước 2: Tính giới hạn của các phân số trong biểu thức: \[ \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{n} = 0 \quad \text{và} \quad \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{4}{n} = 0 \] Bước 3: Thay các giới hạn này vào biểu thức: \[ \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{3 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{4}{n}} = \frac{3 + 0}{1 + 0} = \frac{3}{1} = 3 \] Vậy, $\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{3n+1}{n+4} = 3$. Đáp án đúng là: B. 3. Câu 5. Để xác định mặt phẳng nào song song với mặt phẳng $(AB_1D_1)$ trong hình hộp $ABCD.A_1B_1C_1D_1$, ta sẽ kiểm tra từng mặt phẳng đã cho. 1. Mặt phẳng $(BDA_1)$: - Các điểm $B$, $D$, $A_1$ nằm trên các cạnh khác nhau của hình hộp. - Ta thấy rằng $B$ và $D$ nằm trên cùng một mặt đáy $ABCD$, còn $A_1$ nằm trên đỉnh của hình hộp. - Do đó, mặt phẳng $(BDA_1)$ không song song với mặt phẳng $(AB_1D_1)$ vì chúng chia sẻ điểm $D$ và không có hai đường thẳng song song. 2. Mặt phẳng $(BCA_1)$: - Các điểm $B$, $C$, $A_1$ nằm trên các cạnh khác nhau của hình hộp. - Ta thấy rằng $B$ và $C$ nằm trên cùng một mặt đáy $ABCD$, còn $A_1$ nằm trên đỉnh của hình hộp. - Do đó, mặt phẳng $(BCA_1)$ không song song với mặt phẳng $(AB_1D_1)$ vì chúng chia sẻ điểm $B$ và không có hai đường thẳng song song. 3. Mặt phẳng $(A_1C_1C)$: - Các điểm $A_1$, $C_1$, $C$ nằm trên các cạnh khác nhau của hình hộp. - Ta thấy rằng $A_1$ và $C_1$ nằm trên cùng một mặt đáy $A_1B_1C_1D_1$, còn $C$ nằm trên đỉnh của hình hộp. - Do đó, mặt phẳng $(A_1C_1C)$ không song song với mặt phẳng $(AB_1D_1)$ vì chúng chia sẻ điểm $C$ và không có hai đường thẳng song song. 4. Mặt phẳng $(BC_1D)$: - Các điểm $B$, $C_1$, $D$ nằm trên các cạnh khác nhau của hình hộp. - Ta thấy rằng $B$ và $D$ nằm trên cùng một mặt đáy $ABCD$, còn $C_1$ nằm trên đỉnh của hình hộp. - Do đó, mặt phẳng $(BC_1D)$ không song song với mặt phẳng $(AB_1D_1)$ vì chúng chia sẻ điểm $D$ và không có hai đường thẳng song song. Tuy nhiên, ta nhận thấy rằng: - Mặt phẳng $(AB_1D_1)$ bao gồm các điểm $A$, $B_1$, $D_1$. - Mặt phẳng $(BC_1D)$ bao gồm các điểm $B$, $C_1$, $D$. Ta thấy rằng: - Đường thẳng $AB_1$ song song với đường thẳng $DC_1$. - Đường thẳng $AD_1$ song song với đường thẳng $BD$. Do đó, mặt phẳng $(AB_1D_1)$ song song với mặt phẳng $(BC_1D)$. Vậy đáp án đúng là: D. $(BC_1D)$. Câu 6. Để chuyển đổi từ độ sang radian, ta sử dụng công thức: \[ \text{Số đo radian} = \text{Số đo độ} \times \frac{\pi}{180^\circ} \] Áp dụng vào góc \(90^\circ\): \[ \text{Số đo radian của } 90^\circ = 90^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{90\pi}{180} = \frac{\pi}{2} \] Vậy số đo theo đơn vị radian của góc \(90^\circ\) là \(\frac{\pi}{2}\). Đáp án đúng là: A. $\frac{\pi}{2}$. Câu 7. Để tìm số hạng thứ 5 của dãy số $(u_n)$ với $u_n=\frac{n+2}{3n+3}$, ta thay $n=5$ vào công thức của dãy số. Bước 1: Thay $n=5$ vào công thức $u_n=\frac{n+2}{3n+3}$: \[ u_5 = \frac{5 + 2}{3 \times 5 + 3} \] Bước 2: Tính toán phần tử số ở tử và mẫu: \[ u_5 = \frac{7}{15 + 3} \] \[ u_5 = \frac{7}{18} \] Vậy số hạng thứ 5 của dãy số là $\frac{7}{18}$. Đáp án đúng là: C. $\frac{7}{18}$. Câu 8. Để xác định hàm số nào liên tục trên tập $\mathbb R$, chúng ta cần kiểm tra tính liên tục của mỗi hàm số tại mọi điểm trong tập số thực. A. $f(x) = \sqrt{x - 1}$: - Hàm số này chỉ xác định khi $x - 1 \geq 0$, tức là $x \geq 1$. Do đó, hàm số này không xác định trên toàn bộ tập $\mathbb R$ và không liên tục trên $\mathbb R$. B. $f(x) = \frac{x - 2}{x - 3}$: - Hàm số này xác định khi $x \neq 3$. Do đó, hàm số này không xác định tại điểm $x = 3$ và không liên tục trên $\mathbb R$. C. $f(x) = x^2 + 2x + 1$: - Đây là một đa thức bậc hai, và tất cả các đa thức đều liên tục trên toàn bộ tập $\mathbb R$. Do đó, hàm số này liên tục trên $\mathbb R$. D. $f(x) = \frac{x + 1}{x^2}$: - Hàm số này xác định khi $x \neq 0$. Do đó, hàm số này không xác định tại điểm $x = 0$ và không liên tục trên $\mathbb R$. Từ các phân tích trên, chỉ có hàm số $f(x) = x^2 + 2x + 1$ là liên tục trên toàn bộ tập $\mathbb R$. Vậy đáp án đúng là: C. $f(x) = x^2 + 2x + 1$.