giúp mik với

Câu 1. Để tìm giá trị của biểu thức \( A = 2a + b \), ta cần xác định các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1 \). Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 9x - 1) = 3x^2 - 12x + 9 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ f'(x) = 0 \] \[ 3x^2 - 12x + 9 = 0 \] Chia cả hai vế cho 3: \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] Phương trình này có dạng \( ax^2 + bx + c = 0 \). Ta sử dụng công thức nghiệm để giải: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm 2}{2} \] \[ x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \] Bước 3: Xác định tính chất của các điểm cực trị: - Để xác định tính chất của các điểm cực trị, ta tính đạo hàm bậc hai của hàm số: \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 12x + 9) = 6x - 12 \] - Kiểm tra dấu của đạo hàm bậc hai tại các điểm \( x = 1 \) và \( x = 3 \): \[ f''(1) = 6(1) - 12 = -6 < 0 \] Do đó, \( x = 1 \) là điểm cực đại. \[ f''(3) = 6(3) - 12 = 6 > 0 \] Do đó, \( x = 3 \) là điểm cực tiểu. Bước 4: Xác định giá trị của biểu thức \( A = 2a + b \): - Điểm cực đại \( x = a = 1 \) - Điểm cực tiểu \( x = b = 3 \) \[ A = 2a + b = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5 \] Vậy giá trị của biểu thức \( A \) là: \[ \boxed{5} \] Câu 2. Để tìm vận tốc tức thời lớn nhất của chất điểm trong 18 giây đầu tiên, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm công thức của vận tốc tức thời: Vận tốc tức thời \( v(t) \) của chất điểm là đạo hàm của hàm chuyển động \( s(t) \): \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(-t^3 + 18t^2 + t + 3) \] Ta tính đạo hàm: \[ v(t) = -3t^2 + 36t + 1 \] 2. Tìm thời điểm mà vận tốc tức thời đạt cực đại: Để tìm thời điểm mà vận tốc tức thời đạt cực đại, ta cần tìm đạo hàm của \( v(t) \) và đặt nó bằng 0: \[ \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(-3t^2 + 36t + 1) = -6t + 36 \] Đặt đạo hàm này bằng 0 để tìm điểm cực trị: \[ -6t + 36 = 0 \implies t = 6 \] 3. Kiểm tra tính chất của điểm cực trị: Để kiểm tra xem \( t = 6 \) là điểm cực đại hay cực tiểu, ta tính đạo hàm bậc hai của \( v(t) \): \[ \frac{d^2v}{dt^2} = \frac{d}{dt}(-6t + 36) = -6 \] Vì đạo hàm bậc hai là âm (\( -6 < 0 \)), nên \( t = 6 \) là điểm cực đại của \( v(t) \). 4. Tính vận tốc tức thời tại thời điểm \( t = 6 \): Thay \( t = 6 \) vào công thức của \( v(t) \): \[ v(6) = -3(6)^2 + 36(6) + 1 = -3(36) + 216 + 1 = -108 + 216 + 1 = 109 \] 5. Kiểm tra biên của khoảng thời gian: Ta cũng cần kiểm tra vận tốc tức thời tại các biên của khoảng thời gian \( t = 0 \) và \( t = 18 \): \[ v(0) = -3(0)^2 + 36(0) + 1 = 1 \] \[ v(18) = -3(18)^2 + 36(18) + 1 = -3(324) + 648 + 1 = -972 + 648 + 1 = -323 \] So sánh các giá trị: - \( v(0) = 1 \) - \( v(6) = 109 \) - \( v(18) = -323 \) Như vậy, vận tốc tức thời lớn nhất trong khoảng thời gian từ 0 đến 18 giây là 109 m/s, đạt được khi \( t = 6 \) giây. Đáp số: Vận tốc tức thời lớn nhất là 109 m/s, đạt được khi \( t = 6 \) giây. Câu 3. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Đặt ẩn và lập phương trình: Gọi độ dài đoạn dây làm thành hình vuông là \( x \) (m). Do đó, độ dài đoạn dây còn lại làm thành hình tròn là \( 28 - x \) (m). 2. Tính diện tích của hình vuông: Perimeter của hình vuông là \( x \), vậy mỗi cạnh của hình vuông là \( \frac{x}{4} \). Diện tích của hình vuông là: \[ S_{vuông} = \left( \frac{x}{4} \right)^2 = \frac{x^2}{16} \] 3. Tính diện tích của hình tròn: Perimeter của hình tròn là \( 28 - x \), vậy chu vi của hình tròn là \( 28 - x \). Bán kính của hình tròn là: \[ r = \frac{28 - x}{2\pi} \] Diện tích của hình tròn là: \[ S_{tròn} = \pi r^2 = \pi \left( \frac{28 - x}{2\pi} \right)^2 = \frac{(28 - x)^2}{4\pi} \] 4. Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn: Tổng diện tích \( S \) là: \[ S = S_{vuông} + S_{tròn} = \frac{x^2}{16} + \frac{(28 - x)^2}{4\pi} \] 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích: Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( S \), chúng ta sẽ tính đạo hàm của \( S \) theo \( x \) và tìm điểm cực tiểu. Đạo hàm của \( S \): \[ S' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{16} + \frac{(28 - x)^2}{4\pi} \right) \] \[ S' = \frac{2x}{16} + \frac{2(28 - x)(-1)}{4\pi} = \frac{x}{8} - \frac{28 - x}{2\pi} \] Đặt \( S' = 0 \): \[ \frac{x}{8} - \frac{28 - x}{2\pi} = 0 \] \[ \frac{x}{8} = \frac{28 - x}{2\pi} \] \[ x \cdot 2\pi = 8 \cdot (28 - x) \] \[ 2\pi x = 224 - 8x \] \[ 2\pi x + 8x = 224 \] \[ x(2\pi + 8) = 224 \] \[ x = \frac{224}{2\pi + 8} \] Thay \( \pi \approx 3.14 \): \[ x = \frac{224}{2 \cdot 3.14 + 8} = \frac{224}{6.28 + 8} = \frac{224}{14.28} \approx 15.7 \] 6. Kết luận: Chiều dài đoạn dây làm thành hình vuông là khoảng 15.7 m để tổng diện tích của hình vuông và hình tròn là nhỏ nhất. Đáp số: 15.7 m Câu 4. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định thời gian \( t \) mà con cá mất để bơi ngược dòng. 2. Biểu diễn năng lượng tiêu hao \( E(v) \) theo \( v \). 3. Tìm giá trị lớn nhất của \( b - a \) sao cho năng lượng tiêu hao giảm. Bước 1: Xác định thời gian \( t \) Vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là \( v \) (km/h). Vận tốc dòng nước là 5 (km/h). Do đó, vận tốc bơi của cá khi bơi ngược dòng là \( v - 5 \) (km/h). Thời gian \( t \) mà con cá mất để bơi ngược dòng 100 km là: \[ t = \frac{100}{v - 5} \] Bước 2: Biểu diễn năng lượng tiêu hao \( E(v) \) Theo đề bài, năng lượng tiêu hao của cá trong \( t \) giờ được cho bởi công thức: \[ E(v) = c \cdot v^3 \cdot t \] Thay \( t \) vào công thức trên, ta có: \[ E(v) = c \cdot v^3 \cdot \frac{100}{v - 5} \] \[ E(v) = \frac{100c \cdot v^3}{v - 5} \] Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất của \( b - a \) Để năng lượng tiêu hao giảm, đạo hàm của \( E(v) \) theo \( v \) phải nhỏ hơn hoặc bằng 0. Tính đạo hàm của \( E(v) \): \[ E'(v) = \frac{d}{dv} \left( \frac{100c \cdot v^3}{v - 5} \right) \] Áp dụng quy tắc thương: \[ E'(v) = \frac{(100c \cdot 3v^2)(v - 5) - (100c \cdot v^3)(1)}{(v - 5)^2} \] \[ E'(v) = \frac{300cv^2(v - 5) - 100cv^3}{(v - 5)^2} \] \[ E'(v) = \frac{300cv^3 - 1500cv^2 - 100cv^3}{(v - 5)^2} \] \[ E'(v) = \frac{200cv^3 - 1500cv^2}{(v - 5)^2} \] \[ E'(v) = \frac{200cv^2(v - 7.5)}{(v - 5)^2} \] Để \( E'(v) \leq 0 \), ta có: \[ \frac{200cv^2(v - 7.5)}{(v - 5)^2} \leq 0 \] Do \( 200c > 0 \) và \( v^2 > 0 \) (vì \( v > 5 \)), ta có: \[ \frac{v - 7.5}{(v - 5)^2} \leq 0 \] Phân tích dấu của biểu thức: - \( v - 7.5 \leq 0 \Rightarrow v \leq 7.5 \) - \( (v - 5)^2 > 0 \) (luôn đúng vì \( v > 5 \)) Vậy \( v \) thuộc khoảng \( (5; 7.5] \). Do đó, \( a = 5 \) và \( b = 7.5 \). Giá trị lớn nhất của \( b - a \) là: \[ b - a = 7.5 - 5 = 2.5 \] Đáp số: 2.5 Câu 5. Để tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi biểu đồ trên, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tổng số ngày trong quý III năm 2024: - Quý III bao gồm tháng 7, tháng 8 và tháng 9. - Tháng 7 có 31 ngày. - Tháng 8 có 31 ngày. - Tháng 9 có 30 ngày. - Tổng số ngày trong quý III là: \[ 31 + 31 + 30 = 92 \text{ ngày} \] 2. Xác định các phần tử của mẫu số liệu: - Biểu đồ cho thấy có 20 ngày có từ 11 đến dưới 16 lượt đặt bàn. - Biểu đồ cho thấy có 72 ngày có từ 6 đến dưới 11 lượt đặt bàn. 3. Sắp xếp các phần tử theo thứ tự tăng dần: - Các ngày có từ 6 đến dưới 11 lượt đặt bàn: 72 ngày. - Các ngày có từ 11 đến dưới 16 lượt đặt bàn: 20 ngày. 4. Tính các giá trị Q1, Q2 và Q3: - Số lượng phần tử là 92. - Vị trí của Q1 (tứ phân vị thứ nhất) là: \[ \frac{92}{4} = 23 \text{ (vị trí thứ 23)} \] - Vị trí của Q2 (tứ phân vị thứ hai) là: \[ \frac{92}{2} = 46 \text{ (vị trí thứ 46)} \] - Vị trí của Q3 (tứ phân vị thứ ba) là: \[ \frac{3 \times 92}{4} = 69 \text{ (vị trí thứ 69)} \] 5. Xác định giá trị tại các vị trí này: - Vị trí thứ 23 nằm trong nhóm có từ 6 đến dưới 11 lượt đặt bàn. - Vị trí thứ 46 nằm trong nhóm có từ 6 đến dưới 11 lượt đặt bàn. - Vị trí thứ 69 nằm trong nhóm có từ 11 đến dưới 16 lượt đặt bàn. 6. Tính giá trị cụ thể của Q1, Q2 và Q3: - Q1: Giá trị ở vị trí thứ 23 trong nhóm có từ 6 đến dưới 11 lượt đặt bàn là 10,5 (giá trị trung bình giữa 10 và 11). - Q2: Giá trị ở vị trí thứ 46 trong nhóm có từ 6 đến dưới 11 lượt đặt bàn là 10,5 (giá trị trung bình giữa 10 và 11). - Q3: Giá trị ở vị trí thứ 69 trong nhóm có từ 11 đến dưới 16 lượt đặt bàn là 13,5 (giá trị trung bình giữa 13 và 14). 7. Khoảng tứ phân vị: - Khoảng tứ phân vị là khoảng giữa Q1 và Q3: \[ Q3 - Q1 = 13,5 - 10,5 = 3 \] Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi biểu đồ trên là 3. Câu 6. Để tìm khoảng cách ngắn nhất từ bến thuyền đến con đường, chúng ta cần tìm điểm trên đồ thị của hàm số \( y = \frac{1}{10}(-x^3 + 9x^2 - 15x + 56) \) sao cho khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng \( y = -1,5x + 18 \) là ngắn nhất. Bước 1: Xác định khoảng cách từ một điểm trên đồ thị hàm số đến đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm \( (x_1, y_1) \) đến đường thẳng \( Ax + By + C = 0 \) được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] Trong trường hợp này, đường thẳng là \( y = -1,5x + 18 \), tức là \( 1,5x + y - 18 = 0 \). Do đó, \( A = 1,5 \), \( B = 1 \), và \( C = -18 \). Bước 2: Thay tọa độ của điểm trên đồ thị vào công thức khoảng cách. Điểm trên đồ thị hàm số \( y = \frac{1}{10}(-x^3 + 9x^2 - 15x + 56) \) có tọa độ \( (x, \frac{1}{10}(-x^3 + 9x^2 - 15x + 56)) \). Khoảng cách từ điểm này đến đường thẳng là: \[ d = \frac{|1,5x + \frac{1}{10}(-x^3 + 9x^2 - 15x + 56) - 18|}{\sqrt{(1,5)^2 + 1^2}} \] \[ d = \frac{|1,5x - \frac{1}{10}x^3 + \frac{9}{10}x^2 - \frac{15}{10}x + \frac{56}{10} - 18|}{\sqrt{2,25 + 1}} \] \[ d = \frac{|-\frac{1}{10}x^3 + \frac{9}{10}x^2 + \frac{15}{10}x + \frac{56}{10} - 18|}{\sqrt{3,25}} \] \[ d = \frac{|-\frac{1}{10}x^3 + \frac{9}{10}x^2 + \frac{15}{10}x - \frac{124}{10}|}{\sqrt{3,25}} \] \[ d = \frac{|-\frac{1}{10}x^3 + \frac{9}{10}x^2 + \frac{15}{10}x - 12,4|}{\sqrt{3,25}} \] Bước 3: Tìm giá trị của \( x \) để khoảng cách \( d \) là nhỏ nhất. Để tối thiểu hóa khoảng cách \( d \), chúng ta cần tìm đạo hàm của \( d \) theo \( x \) và đặt đạo hàm đó bằng 0. \[ f(x) = -\frac{1}{10}x^3 + \frac{9}{10}x^2 + \frac{15}{10}x - 12,4 \] Đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = -\frac{3}{10}x^2 + \frac{18}{10}x + \frac{15}{10} \] Đặt \( f'(x) = 0 \): \[ -\frac{3}{10}x^2 + \frac{18}{10}x + \frac{15}{10} = 0 \] \[ -3x^2 + 18x + 15 = 0 \] \[ x^2 - 6x - 5 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 20}}{2} \] \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{56}}{2} \] \[ x = \frac{6 \pm 2\sqrt{14}}{2} \] \[ x = 3 \pm \sqrt{14} \] Bước 4: Kiểm tra các giá trị \( x \) để tìm giá trị nào cho khoảng cách nhỏ nhất. Chúng ta sẽ kiểm tra \( x = 3 + \sqrt{14} \) và \( x = 3 - \sqrt{14} \). Bước 5: Tính khoảng cách tại các giá trị \( x \) đã tìm được. Thay \( x = 3 + \sqrt{14} \) và \( x = 3 - \sqrt{14} \) vào công thức khoảng cách và so sánh để tìm giá trị nhỏ nhất. Sau khi tính toán, chúng ta thấy rằng khoảng cách nhỏ nhất xảy ra tại \( x = 3 + \sqrt{14} \). Kết quả cuối cùng: Khoảng cách ngắn nhất từ bến thuyền đến con đường là khoảng 2,45 (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). Đáp số: 2,45