Tìm tất cả các khoảng sao cho

Để tìm các khoảng sao cho \( f'(x) < 0 \) và \( f''(x) < 0 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm \( f'(x) \) và \( f''(x) \): Giả sử \( f(x) \) đã được cho, chúng ta sẽ tính \( f'(x) \) và \( f''(x) \). 2. Xác định các điểm cực trị và điểm uốn: - Các điểm cực trị là nơi \( f'(x) = 0 \) hoặc \( f'(x) \) không xác định. - Các điểm uốn là nơi \( f''(x) = 0 \) hoặc \( f''(x) \) không xác định. 3. Xét dấu của \( f'(x) \) và \( f''(x) \): - Xét dấu của \( f'(x) \) trên các khoảng được xác định bởi các điểm cực trị. - Xét dấu của \( f''(x) \) trên các khoảng được xác định bởi các điểm uốn. 4. Xác định các khoảng thỏa mãn điều kiện \( f'(x) < 0 \) và \( f''(x) < 0 \): - Tìm các khoảng trong đó cả \( f'(x) \) và \( f''(x) \) đều âm. Giả sử \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \): 1. Tính đạo hàm: \[ f'(x) = 3x^2 - 6x \] \[ f''(x) = 6x - 6 \] 2. Xác định các điểm cực trị và điểm uốn: - \( f'(x) = 0 \): \[ 3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \] - \( f''(x) = 0 \): \[ 6x - 6 = 0 \implies x = 1 \] 3. Xét dấu của \( f'(x) \) và \( f''(x) \): - \( f'(x) \): - Trên khoảng \( (-\infty, 0) \): \( f'(x) > 0 \) - Trên khoảng \( (0, 2) \): \( f'(x) < 0 \) - Trên khoảng \( (2, \infty) \): \( f'(x) > 0 \) - \( f''(x) \): - Trên khoảng \( (-\infty, 1) \): \( f''(x) < 0 \) - Trên khoảng \( (1, \infty) \): \( f''(x) > 0 \) 4. Xác định các khoảng thỏa mãn điều kiện \( f'(x) < 0 \) và \( f''(x) < 0 \): - \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \( (0, 2) \) - \( f''(x) < 0 \) trên khoảng \( (-\infty, 1) \) Do đó, các khoảng thỏa mãn cả hai điều kiện \( f'(x) < 0 \) và \( f''(x) < 0 \) là: \[ (0, 1) \] Đáp số: \( (0, 1) \)