Tìm tất cả các khoảng sao cho

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) \). 2. Xác định các khoảng sao cho \( f'(x) < 0 \). 3. Xác định các khoảng sao cho \( f''(x) > 0 \). 4. Tìm giao của hai tập hợp khoảng đã xác định ở bước 2 và bước 3. Giả sử hàm số \( f(x) \) đã cho là \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) \). \[ f'(x) = \frac{d}{dx} (x^3 - 3x^2 + 2) = 3x^2 - 6x \] Bước 2: Xác định các khoảng sao cho \( f'(x) < 0 \). \[ 3x^2 - 6x < 0 \] \[ 3x(x - 2) < 0 \] Phương trình \( 3x(x - 2) = 0 \) có các nghiệm \( x = 0 \) và \( x = 2 \). Ta xét dấu của biểu thức \( 3x(x - 2) \) trên các khoảng \( (-\infty, 0) \), \( (0, 2) \), và \( (2, \infty) \): - Trên khoảng \( (-\infty, 0) \), \( 3x < 0 \) và \( x - 2 < 0 \), do đó \( 3x(x - 2) > 0 \). - Trên khoảng \( (0, 2) \), \( 3x > 0 \) và \( x - 2 < 0 \), do đó \( 3x(x - 2) < 0 \). - Trên khoảng \( (2, \infty) \), \( 3x > 0 \) và \( x - 2 > 0 \), do đó \( 3x(x - 2) > 0 \). Vậy \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \( (0, 2) \). Bước 3: Xác định các khoảng sao cho \( f''(x) > 0 \). \[ f''(x) = \frac{d}{dx} (3x^2 - 6x) = 6x - 6 \] Phương trình \( 6x - 6 = 0 \) có nghiệm \( x = 1 \). Ta xét dấu của biểu thức \( 6x - 6 \) trên các khoảng \( (-\infty, 1) \) và \( (1, \infty) \): - Trên khoảng \( (-\infty, 1) \), \( 6x - 6 < 0 \). - Trên khoảng \( (1, \infty) \), \( 6x - 6 > 0 \). Vậy \( f''(x) > 0 \) trên khoảng \( (1, \infty) \). Bước 4: Tìm giao của hai tập hợp khoảng đã xác định ở bước 2 và bước 3. Giao của khoảng \( (0, 2) \) và khoảng \( (1, \infty) \) là khoảng \( (1, 2) \). Vậy các khoảng sao cho \( f'(x) < 0 \) và \( f''(x) > 0 \) là \( (1, 2) \). Đáp số: \( (1, 2) \).