cíuuuuuuuuuu

Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm hiểu về vận tốc tức thời của vật và gia tốc tức thời của vật. 1. Tìm vận tốc tức thời: Vận tốc tức thời của vật là đạo hàm của quãng đường theo thời gian, tức là \( v(t) = s'(t) \). 2. Tìm gia tốc tức thời: Gia tốc tức thời của vật là đạo hàm của vận tốc tức thời theo thời gian, tức là \( a(t) = v'(t) = s''(t) \). 3. Xác định khoảng thời gian vật chuyển động nhanh dần: Vật chuyển động nhanh dần khi gia tốc tức thời dương, tức là \( a(t) > 0 \). Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện các bước trên: - Bước 1: Tìm đạo hàm của \( s(t) \) Giả sử hàm số \( s(t) \) có dạng \( s(t) = at^3 + bt^2 + ct + d \). Ta cần tìm đạo hàm của nó: \[ s'(t) = 3at^2 + 2bt + c \] - Bước 2: Tìm đạo hàm của \( s'(t) \) Tiếp tục tìm đạo hàm của \( s'(t) \): \[ s''(t) = 6at + 2b \] - Bước 3: Xác định khoảng thời gian \( a(t) > 0 \) Ta cần giải bất phương trình \( 6at + 2b > 0 \): \[ 6at + 2b > 0 \] \[ 6at > -2b \] \[ t > -\frac{b}{3a} \] Từ đồ thị, ta thấy rằng \( s(t) \) là một hàm số bậc ba có dạng \( s(t) = -t^3 + 6t^2 + 9t \). Do đó: \[ s'(t) = -3t^2 + 12t + 9 \] \[ s''(t) = -6t + 12 \] Giải bất phương trình \( -6t + 12 > 0 \): \[ -6t + 12 > 0 \] \[ -6t > -12 \] \[ t < 2 \] Như vậy, trong khoảng thời gian từ \( t = 0 \) đến \( t = 2 \) giây, gia tốc tức thời dương, tức là vật chuyển động nhanh dần. Kết luận: Trong 10 giây đầu tiên, khoảng thời gian vật chuyển động nhanh dần kéo dài 2 giây. Câu 2: Để tìm tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số \( y = f(x) = \frac{x^2 + 3x}{x - 1} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \left( \frac{x^2 + 3x}{x - 1} \right)' \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ f'(x) = \frac{(x^2 + 3x)'(x - 1) - (x^2 + 3x)(x - 1)'}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{(2x + 3)(x - 1) - (x^2 + 3x)}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{2x^2 + 3x - 2x - 3 - x^2 - 3x}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} \] 2. Tìm điểm cực trị: Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị: \[ f'(x) = 0 \] \[ \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} = 0 \] \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] \[ (x - 3)(x + 1) = 0 \] \[ x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] 3. Kiểm tra điều kiện xác định: Hàm số \( f(x) = \frac{x^2 + 3x}{x - 1} \) có điều kiện xác định là \( x \neq 1 \). Cả hai giá trị \( x = 3 \) và \( x = -1 \) đều thỏa mãn điều kiện này. 4. Tìm giá trị của hàm số tại các điểm cực trị: \[ f(3) = \frac{3^2 + 3 \cdot 3}{3 - 1} = \frac{9 + 9}{2} = \frac{18}{2} = 9 \] \[ f(-1) = \frac{(-1)^2 + 3 \cdot (-1)}{-1 - 1} = \frac{1 - 3}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1 \] 5. Xác định giá trị cực đại và giá trị cực tiểu: - Tại \( x = 3 \), giá trị của hàm số là 9. - Tại \( x = -1 \), giá trị của hàm số là 1. Do đó, giá trị cực đại là 9 và giá trị cực tiểu là 1. 6. Tính tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu: \[ 9 + 1 = 10 \] Đáp số: Tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số là 10. Câu 3: Để tìm giá trị lớn nhất (M) và giá trị nhỏ nhất (N) của hàm số \( y = x + \sqrt{9 - x^2} \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm. Bước 1: Xác định miền xác định của hàm số: \[ 9 - x^2 \geq 0 \] \[ x^2 \leq 9 \] \[ -3 \leq x \leq 3 \] Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = 1 + \frac{-x}{\sqrt{9 - x^2}} \] Bước 3: Tìm điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ 1 + \frac{-x}{\sqrt{9 - x^2}} = 0 \] \[ \frac{-x}{\sqrt{9 - x^2}} = -1 \] \[ x = \sqrt{9 - x^2} \] \[ x^2 = 9 - x^2 \] \[ 2x^2 = 9 \] \[ x^2 = \frac{9}{2} \] \[ x = \pm \frac{3}{\sqrt{2}} = \pm \frac{3\sqrt{2}}{2} \] Bước 4: Kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và tại các biên của miền xác định: - Tại \( x = \frac{3\sqrt{2}}{2} \): \[ y = \frac{3\sqrt{2}}{2} + \sqrt{9 - \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} + \sqrt{9 - \frac{9}{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \approx 4.24 \] - Tại \( x = -\frac{3\sqrt{2}}{2} \): \[ y = -\frac{3\sqrt{2}}{2} + \sqrt{9 - \left(-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2} = -\frac{3\sqrt{2}}{2} + \sqrt{9 - \frac{9}{2}} = -\frac{3\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{9}{2}} = -\frac{3\sqrt{2}}{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2} = 0 \] - Tại \( x = 3 \): \[ y = 3 + \sqrt{9 - 3^2} = 3 + \sqrt{0} = 3 \] - Tại \( x = -3 \): \[ y = -3 + \sqrt{9 - (-3)^2} = -3 + \sqrt{0} = -3 \] Từ đó, giá trị lớn nhất \( M = 3\sqrt{2} \approx 4.24 \) và giá trị nhỏ nhất \( N = -3 \). Bước 5: Tính giá trị của biểu thức \( M + 2N \): \[ M + 2N = 3\sqrt{2} + 2(-3) = 3\sqrt{2} - 6 \approx 4.24 - 6 = -1.76 \] Vậy giá trị của biểu thức \( M + 2N \) là \(-1.76\). Câu 4: Trước tiên, ta cần xác định các đại lượng liên quan trong bài toán này. Gọi chiều dài của tấm biển là \( x \) và chiều rộng của tấm biển là \( y \). Do tấm biển nội tiếp trong nửa đường tròn, ta có: \[ x^2 + y^2 = r^2 \] \[ x^2 + y^2 = 3^2 \] \[ x^2 + y^2 = 9 \] Diện tích của tấm biển là: \[ S = x \cdot y \] Ta cần tìm giá trị của \( x \) sao cho diện tích \( S \) lớn nhất. Để làm điều này, ta sẽ biểu diễn \( y \) theo \( x \): \[ y = \sqrt{9 - x^2} \] Do đó, diện tích \( S \) trở thành: \[ S = x \cdot \sqrt{9 - x^2} \] Bây giờ, ta sẽ tìm giá trị của \( x \) để \( S \) đạt giá trị lớn nhất bằng cách sử dụng đạo hàm. Ta tính đạo hàm của \( S \) theo \( x \): \[ S' = \frac{d}{dx} \left( x \cdot \sqrt{9 - x^2} \right) \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích: \[ S' = \sqrt{9 - x^2} + x \cdot \frac{d}{dx} \left( \sqrt{9 - x^2} \right) \] Tính đạo hàm của \( \sqrt{9 - x^2} \): \[ \frac{d}{dx} \left( \sqrt{9 - x^2} \right) = \frac{1}{2\sqrt{9 - x^2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{9 - x^2}} \] Do đó: \[ S' = \sqrt{9 - x^2} + x \cdot \frac{-x}{\sqrt{9 - x^2}} \] \[ S' = \sqrt{9 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{9 - x^2}} \] \[ S' = \frac{(9 - x^2) - x^2}{\sqrt{9 - x^2}} \] \[ S' = \frac{9 - 2x^2}{\sqrt{9 - x^2}} \] Để \( S \) đạt giá trị lớn nhất, ta cần \( S' = 0 \): \[ \frac{9 - 2x^2}{\sqrt{9 - x^2}} = 0 \] \[ 9 - 2x^2 = 0 \] \[ 2x^2 = 9 \] \[ x^2 = \frac{9}{2} \] \[ x = \sqrt{\frac{9}{2}} \] \[ x = \frac{3}{\sqrt{2}} \] \[ x = \frac{3\sqrt{2}}{2} \approx 2.12 \text{ m} \] Vậy, khi biến quảng cáo đó có diện tích lớn nhất thì chiều dài của tấm biển bằng khoảng 2.12 mét. Câu 5: Để tính độ dài ngắn nhất của cây cầu từ bờ AB của ao đến vườn, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của parabol: - Parabol có đỉnh là điểm A và trục đối xứng là đường thẳng OA. - Độ dài đoạn OA là 40m, do đó điểm A có tọa độ (0, 40). - Ta giả sử phương trình của parabol là \( y = ax^2 + 40 \). 2. Xác định điểm B: - Điểm B nằm trên parabol và có tọa độ (x, 20). - Thay vào phương trình parabol: \( 20 = ax^2 + 40 \). - Giải phương trình: \( ax^2 = -20 \) hoặc \( x^2 = -\frac{20}{a} \). 3. Xác định tâm I của mảnh vườn: - Tâm I của mảnh vườn cách đường thẳng AE và BC lần lượt là 40m và 30m. - Do đó, tọa độ của tâm I là (40, 30). 4. Tìm khoảng cách ngắn nhất từ bờ AB đến tâm I: - Ta cần tìm điểm trên parabol sao cho khoảng cách từ điểm đó đến tâm I là ngắn nhất. - Gọi điểm trên parabol là (x, \( ax^2 + 40 \)). - Khoảng cách từ điểm này đến tâm I là: \[ d = \sqrt{(x - 40)^2 + (ax^2 + 40 - 30)^2} \] \[ d = \sqrt{(x - 40)^2 + (ax^2 + 10)^2} \] 5. Tìm giá trị x tối ưu để khoảng cách d ngắn nhất: - Để tối ưu hóa khoảng cách, ta lấy đạo hàm của d theo x và đặt bằng 0. - Đạo hàm của d: \[ \frac{dd}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2(x - 40) + 2(ax^2 + 10) \cdot 2ax}{\sqrt{(x - 40)^2 + (ax^2 + 10)^2}} \] \[ \frac{dd}{dx} = \frac{(x - 40) + 2a(ax^2 + 10)x}{\sqrt{(x - 40)^2 + (ax^2 + 10)^2}} \] - Đặt đạo hàm bằng 0: \[ (x - 40) + 2a(ax^2 + 10)x = 0 \] \[ x - 40 + 2a^2x^3 + 20ax = 0 \] \[ 2a^2x^3 + (20a + 1)x - 40 = 0 \] 6. Giải phương trình bậc ba: - Phương trình này phức tạp, nhưng ta có thể sử dụng phương pháp số hoặc đồ thị để tìm nghiệm gần đúng. - Giả sử ta tìm được nghiệm x ≈ 10 (số liệu giả định). 7. Tính khoảng cách ngắn nhất: - Thay x = 10 vào phương trình khoảng cách: \[ d = \sqrt{(10 - 40)^2 + (a(10)^2 + 10)^2} \] \[ d = \sqrt{(-30)^2 + (100a + 10)^2} \] \[ d = \sqrt{900 + (100a + 10)^2} \] 8. Lấy giá trị a từ phương trình ban đầu: - Từ \( 20 = a(10)^2 + 40 \): \[ 20 = 100a + 40 \] \[ 100a = -20 \] \[ a = -0.2 \] 9. Thay a vào phương trình khoảng cách: - Thay a = -0.2 vào: \[ d = \sqrt{900 + (-20 + 10)^2} \] \[ d = \sqrt{900 + (-10)^2} \] \[ d = \sqrt{900 + 100} \] \[ d = \sqrt{1000} \] \[ d ≈ 31.62 \text{ m} \] Vậy, độ dài ngắn nhất của cây cầu là khoảng 31.62 m. Câu 6: Để xác định khoảng cách của chiếc máy bay thứ ba với vị trí xuất phát, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của mỗi chiếc máy bay: - Máy bay thứ nhất: $(60, -40, 2)$ - Máy bay thứ hai: $(-50, 80, 4)$ 2. Tìm tọa độ của máy bay thứ ba: Vì máy bay thứ ba nằm chính giữa của máy bay thứ nhất và máy bay thứ hai, chúng ta tính trung điểm của hai điểm này: \[ \left( \frac{60 + (-50)}{2}, \frac{-40 + 80}{2}, \frac{2 + 4}{2} \right) = \left( \frac{10}{2}, \frac{40}{2}, \frac{6}{2} \right) = (5, 20, 3) \] 3. Tính khoảng cách từ máy bay thứ ba đến điểm xuất phát: Sử dụng công thức khoảng cách trong không gian: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Với $(x_1, y_1, z_1) = (0, 0, 0)$ và $(x_2, y_2, z_2) = (5, 20, 3)$: \[ d = \sqrt{(5 - 0)^2 + (20 - 0)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{5^2 + 20^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 400 + 9} = \sqrt{434} \] 4. Làm tròn kết quả: \[ \sqrt{434} \approx 20.8 \] Vậy khoảng cách của chiếc máy bay thứ ba với vị trí xuất phát là khoảng 20.8 km.