Giup e vs a

Câu 4: Trước tiên, ta xác định tọa độ của các điểm trong hình lập phương \(ABCD - A'B'C'D'\) cạnh \(a\). - \(A(0, 0, 0)\) - \(B(a, 0, 0)\) - \(C(a, a, 0)\) - \(D(0, a, 0)\) - \(A'(0, 0, a)\) - \(B'(a, 0, a)\) - \(C'(a, a, a)\) - \(D'(0, a, a)\) M và N là trung điểm của \(A'D'\) và \(C'D'\) lần lượt. Tọa độ của M: \[ M = \left( \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + a}{2}, \frac{a + a}{2} \right) = \left( 0, \frac{a}{2}, a \right) \] Tọa độ của N: \[ N = \left( \frac{0 + a}{2}, \frac{a + a}{2}, \frac{a + a}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, a, a \right) \] Phương vector \(\overrightarrow{MN}\): \[ \overrightarrow{MN} = N - M = \left( \frac{a}{2} - 0, a - \frac{a}{2}, a - a \right) = \left( \frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0 \right) \] Phương vector \(\overrightarrow{C'B}\): \[ \overrightarrow{C'B} = B - C' = (a - a, 0 - a, a - a) = (0, -a, 0) \] Ta tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{MN}\) và \(\overrightarrow{C'B}\) bằng công thức: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{C'B}}{|\overrightarrow{MN}| |\overrightarrow{C'B}|} \] Tích vô hướng: \[ \overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{C'B} = \left( \frac{a}{2} \right) \cdot 0 + \left( \frac{a}{2} \right) \cdot (-a) + 0 \cdot 0 = -\frac{a^2}{2} \] Độ dài của \(\overrightarrow{MN}\): \[ |\overrightarrow{MN}| = \sqrt{\left( \frac{a}{2} \right)^2 + \left( \frac{a}{2} \right)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} \] Độ dài của \(\overrightarrow{C'B}\): \[ |\overrightarrow{C'B}| = \sqrt{0^2 + (-a)^2 + 0^2} = a \] Do đó: \[ \cos \theta = \frac{-\frac{a^2}{2}}{\frac{a}{\sqrt{2}} \cdot a} = \frac{-\frac{a^2}{2}}{\frac{a^2}{\sqrt{2}}} = \frac{-\frac{a^2}{2}}{\frac{a^2}{\sqrt{2}}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] Vậy góc giữa \(\overrightarrow{MN}\) và \(\overrightarrow{C'B}\) là: \[ \theta = \cos^{-1} \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 135^\circ \] Đáp số: Góc giữa \(\overrightarrow{MN}\) và \(\overrightarrow{C'B}\) là \(135^\circ\).