cứuu với ạaa

Câu 13. Để tìm độ dài đoạn thẳng \(MG\) trong không gian, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của các điểm M và G: - Điểm \(M\) là trung điểm của \(SB\). Tọa độ của \(S\) là \((0, 0, 4)\) và tọa độ của \(B\) là \((0, 4, 0)\). \[ M = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+4}{2}, \frac{4+0}{2}\right) = (0, 2, 2) \] - Điểm \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SCD\). Tọa độ của \(C\) là \((2, 4, 0)\), tọa độ của \(D\) là \((2, 0, 0)\), và tọa độ của \(S\) là \((0, 0, 4)\). \[ G = \left(\frac{2+2+0}{3}, \frac{4+0+0}{3}, \frac{0+0+4}{3}\right) = \left(\frac{4}{3}, \frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right) \] 2. Tính khoảng cách giữa hai điểm \(M\) và \(G\): - Áp dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: \[ MG = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Thay tọa độ của \(M\) và \(G\) vào: \[ MG = \sqrt{\left(\frac{4}{3} - 0\right)^2 + \left(\frac{4}{3} - 2\right)^2 + \left(\frac{4}{3} - 2\right)^2} \] \[ MG = \sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)^2 + \left(\frac{4}{3} - \frac{6}{3}\right)^2 + \left(\frac{4}{3} - \frac{6}{3}\right)^2} \] \[ MG = \sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)^2 + \left(-\frac{2}{3}\right)^2 + \left(-\frac{2}{3}\right)^2} \] \[ MG = \sqrt{\frac{16}{9} + \frac{4}{9} + \frac{4}{9}} \] \[ MG = \sqrt{\frac{24}{9}} = \sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3} \] Vậy độ dài \(MG\) là: \[ \boxed{MG = \frac{2\sqrt{6}}{3}} \] Câu 14. Trước tiên, ta xác định tọa độ của các điểm trong hệ tọa độ Oxyz với gốc O tại A, Ox dọc theo AB, Oy dọc theo AD và Oz dọc theo AA'. - Điểm A có tọa độ (0, 0, 0) - Điểm B có tọa độ (4, 0, 0) - Điểm D có tọa độ (0, 3, 0) - Điểm A' có tọa độ (0, 0, 5) - Điểm B' có tọa độ (4, 0, 5) Trọng tâm G của tam giác ACB' có tọa độ trung bình cộng của các đỉnh của tam giác đó: \[ G = \left( \frac{x_A + x_C + x_{B'}}{3}, \frac{y_A + y_C + y_{B'}}{3}, \frac{z_A + z_C + z_{B'}}{3} \right) \] Tọa độ của C là (4, 3, 0). Do đó: \[ G = \left( \frac{0 + 4 + 4}{3}, \frac{0 + 3 + 0}{3}, \frac{0 + 0 + 5}{3} \right) = \left( \frac{8}{3}, 1, \frac{5}{3} \right) \] Bây giờ, ta tính khoảng cách từ B đến G: \[ BG = \sqrt{(x_G - x_B)^2 + (y_G - y_B)^2 + (z_G - z_B)^2} \] \[ BG = \sqrt{\left( \frac{8}{3} - 4 \right)^2 + (1 - 0)^2 + \left( \frac{5}{3} - 0 \right)^2} \] \[ BG = \sqrt{\left( \frac{8}{3} - \frac{12}{3} \right)^2 + 1^2 + \left( \frac{5}{3} \right)^2} \] \[ BG = \sqrt{\left( -\frac{4}{3} \right)^2 + 1 + \left( \frac{5}{3} \right)^2} \] \[ BG = \sqrt{\frac{16}{9} + 1 + \frac{25}{9}} \] \[ BG = \sqrt{\frac{16 + 9 + 25}{9}} \] \[ BG = \sqrt{\frac{50}{9}} \] \[ BG = \frac{\sqrt{50}}{3} \] \[ BG = \frac{5\sqrt{2}}{3} \] Vậy đáp án đúng là: \[ D. BG = \frac{5\sqrt{2}}{3} \] Câu 15. Trước tiên, ta xác định tọa độ của các điểm trong hệ tọa độ Oxyz, với O là giao điểm của ba đường thẳng AB, AC, AD. - Điểm A có tọa độ (0, 0, 0). - Điểm B có tọa độ (1, 0, 0). - Điểm C có tọa độ (0, 1, 0). - Điểm D có tọa độ (0, 0, 2). Bây giờ, ta tìm tọa độ của điểm I, trung điểm của đoạn thẳng BC: \[ I = \left( \frac{1+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0 \right) \] Tiếp theo, ta tính độ dài BI: \[ BI = \sqrt{\left( \frac{1}{2} - 1 \right)^2 + \left( \frac{1}{2} - 0 \right)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{\left( -\frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Vậy độ dài BI là: \[ BI = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Câu 16. Trước tiên, ta xác định hệ tọa độ Oxyz sao cho: - Điểm O trùng với đỉnh A của hình vuông ABCD. - Trục Ox đi qua B. - Trục Oy đi qua D. - Trục Oz đi qua S. Tọa độ các đỉnh của hình chóp S.ABCD sẽ là: - \(A(0, 0, 0)\) - \(B(a, 0, 0)\) - \(C(a, a, 0)\) - \(D(0, a, 0)\) - \(S(0, 0, a)\) Tiếp theo, ta xác định tọa độ của các điểm M và N: - \(M\) là trung điểm của \(SB\), do đó tọa độ của \(M\) là: \[ M = \left(\frac{0 + a}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{a + 0}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, 0, \frac{a}{2}\right) \] - \(N\) là trung điểm của \(SD\), do đó tọa độ của \(N\) là: \[ N = \left(\frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + a}{2}, \frac{a + 0}{2}\right) = \left(0, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right) \] Bây giờ, ta xác định tọa độ của điểm G, trọng tâm của tam giác AMN. Trọng tâm của một tam giác được tính bằng cách lấy trung bình cộng tọa độ của ba đỉnh của tam giác đó: \[ G = \left(\frac{x_A + x_M + x_N}{3}, \frac{y_A + y_M + y_N}{3}, \frac{z_A + z_M + z_N}{3}\right) \] Thay tọa độ của \(A\), \(M\), và \(N\) vào công thức trên: \[ G = \left(\frac{0 + \frac{a}{2} + 0}{3}, \frac{0 + 0 + \frac{a}{2}}{3}, \frac{0 + \frac{a}{2} + \frac{a}{2}}{3}\right) \] \[ G = \left(\frac{\frac{a}{2}}{3}, \frac{\frac{a}{2}}{3}, \frac{a}{3}\right) \] \[ G = \left(\frac{a}{6}, \frac{a}{6}, \frac{a}{3}\right) \] Vậy tọa độ của điểm G là: \[ G = \left(\frac{a}{6}, \frac{a}{6}, \frac{a}{3}\right) \] Câu 17. Trước tiên, ta xác định tọa độ của các đỉnh của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với cạnh bằng 4. Giả sử đỉnh A trùng với gốc tọa độ (0, 0, 0). - A(0, 0, 0) - B(4, 0, 0) - C(4, 4, 0) - D(0, 4, 0) - A'(0, 0, 4) - B'(4, 0, 4) - C'(4, 4, 4) - D'(0, 4, 4) Tiếp theo, ta xác định tọa độ của trọng tâm G của tam giác A'BD. Trọng tâm của một tam giác được tính bằng cách lấy trung bình cộng của tọa độ của ba đỉnh của tam giác đó. Tọa độ của G: \[ G = \left( \frac{x_{A'} + x_B + x_D}{3}, \frac{y_{A'} + y_B + y_D}{3}, \frac{z_{A'} + z_B + z_D}{3} \right) \] Thay tọa độ của A', B và D vào: \[ G = \left( \frac{0 + 4 + 0}{3}, \frac{0 + 0 + 4}{3}, \frac{4 + 0 + 0}{3} \right) = \left( \frac{4}{3}, \frac{4}{3}, \frac{4}{3} \right) \] Bây giờ, ta tính khoảng cách từ C' đến G. Ta sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: \[ d(C', G) = \sqrt{(x_{C'} - x_G)^2 + (y_{C'} - y_G)^2 + (z_{C'} - z_G)^2} \] Thay tọa độ của C' và G vào: \[ d(C', G) = \sqrt{\left(4 - \frac{4}{3}\right)^2 + \left(4 - \frac{4}{3}\right)^2 + \left(4 - \frac{4}{3}\right)^2} \] \[ d(C', G) = \sqrt{\left(\frac{12}{3} - \frac{4}{3}\right)^2 + \left(\frac{12}{3} - \frac{4}{3}\right)^2 + \left(\frac{12}{3} - \frac{4}{3}\right)^2} \] \[ d(C', G) = \sqrt{\left(\frac{8}{3}\right)^2 + \left(\frac{8}{3}\right)^2 + \left(\frac{8}{3}\right)^2} \] \[ d(C', G) = \sqrt{3 \times \left(\frac{8}{3}\right)^2} \] \[ d(C', G) = \sqrt{3 \times \frac{64}{9}} \] \[ d(C', G) = \sqrt{\frac{192}{9}} \] \[ d(C', G) = \sqrt{\frac{64}{3}} \] \[ d(C', G) = \frac{8\sqrt{3}}{3} \] Vậy độ dài C'G là: \[ \boxed{\frac{8\sqrt{3}}{3}} \] Câu 18. Trước tiên, ta xác định tọa độ của các điểm trong hệ tọa độ Oxyz với O là gốc tọa độ tại A, Ox dọc theo AB, Oy dọc theo AD và Oz dọc theo SA. - Điểm A có tọa độ (0, 0, 0) - Điểm B có tọa độ (a, 0, 0) - Điểm D có tọa độ (0, a√3, 0) - Điểm C có tọa độ (a, a√3, 0) - Điểm S có tọa độ (0, 0, a) Tiếp theo, ta xác định tọa độ của điểm G, trọng tâm của tam giác SBD. Trọng tâm của một tam giác được tính bằng cách lấy trung bình cộng tọa độ của ba đỉnh của tam giác đó. Tọa độ của G: \[ G = \left( \frac{x_S + x_B + x_D}{3}, \frac{y_S + y_B + y_D}{3}, \frac{z_S + z_B + z_D}{3} \right) \] \[ G = \left( \frac{0 + a + 0}{3}, \frac{0 + 0 + a\sqrt{3}}{3}, \frac{a + 0 + 0}{3} \right) \] \[ G = \left( \frac{a}{3}, \frac{a\sqrt{3}}{3}, \frac{a}{3} \right) \] Bây giờ, ta tính độ dài đoạn thẳng CG bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: \[ CG = \sqrt{(x_C - x_G)^2 + (y_C - y_G)^2 + (z_C - z_G)^2} \] Thay tọa độ của C và G vào: \[ CG = \sqrt{\left(a - \frac{a}{3}\right)^2 + \left(a\sqrt{3} - \frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 + \left(0 - \frac{a}{3}\right)^2} \] \[ CG = \sqrt{\left(\frac{2a}{3}\right)^2 + \left(\frac{2a\sqrt{3}}{3}\right)^2 + \left(-\frac{a}{3}\right)^2} \] \[ CG = \sqrt{\frac{4a^2}{9} + \frac{4a^2 \cdot 3}{9} + \frac{a^2}{9}} \] \[ CG = \sqrt{\frac{4a^2}{9} + \frac{12a^2}{9} + \frac{a^2}{9}} \] \[ CG = \sqrt{\frac{17a^2}{9}} \] \[ CG = \frac{a\sqrt{17}}{3} \] Vậy độ dài CG là: \[ CG = \frac{a\sqrt{17}}{3} \] Câu 19. Trước tiên, ta xác định tọa độ các đỉnh của hình chóp S.ABCD trong hệ tọa độ Oxyz đã cho. - Vì ABCD là hình vuông có độ dài đường chéo bằng \(a\sqrt{2}\), nên cạnh của hình vuông là \(a\). - Ta chọn hệ tọa độ sao cho: - A(0, 0, 0) - B(a, 0, 0) - C(a, a, 0) - D(0, a, 0) - Điểm I là giao điểm của AC và BD, do đó tọa độ của I là trung điểm của cả AC và BD: \[ I = \left(\frac{0 + a}{2}, \frac{0 + a}{2}, 0\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right) \] - Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), ta có S(0, 0, h) với h là chiều cao từ S xuống đáy. Tiếp theo, ta xác định góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). - Mặt phẳng (ABCD) có phương pháp là z = 0. - Mặt phẳng (SBD) có vectơ pháp tuyến là \(\vec{n}_{SBD}\). Ta tìm vectơ pháp tuyến này bằng cách lấy tích vector của hai vectơ nằm trong mặt phẳng (SBD). Ta có: \[ \vec{SB} = (a, 0, -h) \] \[ \vec{SD} = (0, a, -h) \] Tích vector của \(\vec{SB}\) và \(\vec{SD}\) là: \[ \vec{n}_{SBD} = \vec{SB} \times \vec{SD} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a & 0 & -h \\ 0 & a & -h \end{vmatrix} = (ah, ah, a^2) \] Phương pháp của mặt phẳng (SBD) là: \[ ahx + ahy + a^2z = 0 \] Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) là góc giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng. Ta có: \[ \cos \alpha = \frac{\vec{n}_{SBD} \cdot \vec{n}_{ABCD}}{|\vec{n}_{SBD}| |\vec{n}_{ABCD}|} \] Trong đó: \[ \vec{n}_{ABCD} = (0, 0, 1) \] \[ \vec{n}_{SBD} = (ah, ah, a^2) \] Do đó: \[ \cos \alpha = \frac{a^2}{\sqrt{(ah)^2 + (ah)^2 + (a^2)^2}} = \frac{a^2}{a\sqrt{h^2 + h^2 + a^2}} = \frac{a}{\sqrt{2h^2 + a^2}} \] Biết rằng \(\tan \alpha = \sqrt{2}\), ta có: \[ \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \] \[ \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}} \] Do đó: \[ \frac{a}{\sqrt{2h^2 + a^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \] \[ a\sqrt{3} = \sqrt{2h^2 + a^2} \] \[ 3a^2 = 2h^2 + a^2 \] \[ 2a^2 = 2h^2 \] \[ h = a \] Vậy tọa độ của điểm S là (0, 0, a). Cuối cùng, tọa độ của điểm I là: \[ I = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right) \] Đáp số: \( I = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right) \)