Sosssss hnay phải nộp mn cứu e

Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu. Phần a: Tìm khai triển đạo hàm và nghiệm của đạo hàm của hàm số Hàm số đã cho là: \[ f(x) = x^3 - 3x + 2 \] Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x + 2) = 3x^2 - 3 \] Bây giờ, ta tìm nghiệm của đạo hàm: \[ f'(x) = 0 \] \[ 3x^2 - 3 = 0 \] \[ 3(x^2 - 1) = 0 \] \[ x^2 - 1 = 0 \] \[ (x - 1)(x + 1) = 0 \] Vậy nghiệm của đạo hàm là: \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] Phần b: Tìm các điểm cực trị của hàm số Ta xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \): - Khi \( x < -1 \), ta có \( f'(x) > 0 \) - Khi \( -1 < x < 1 \), ta có \( f'(x) < 0 \) - Khi \( x > 1 \), ta có \( f'(x) > 0 \) Từ đó, ta thấy: - Hàm số đạt cực đại tại \( x = -1 \) với giá trị cực đại là: \[ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4 \] - Hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 1 \) với giá trị cực tiểu là: \[ f(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \] Phần c: Tìm các giá trị của tham số \( m \) để phương trình \( x^3 - 3x + 2 - m = 0 \) có 3 nghiệm phân biệt Phương trình \( x^3 - 3x + 2 - m = 0 \) có 3 nghiệm phân biệt khi đồ thị của hàm số \( y = x^3 - 3x + 2 \) cắt đường thẳng \( y = m \) tại 3 điểm khác nhau. Từ phần b, ta biết rằng hàm số \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) có cực đại tại \( x = -1 \) với giá trị \( f(-1) = 4 \) và cực tiểu tại \( x = 1 \) với giá trị \( f(1) = 0 \). Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt, giá trị của \( m \) phải nằm trong khoảng giữa giá trị cực đại và cực tiểu: \[ 0 < m < 4 \] Vậy, các giá trị của tham số \( m \) để phương trình \( x^3 - 3x + 2 - m = 0 \) có 3 nghiệm phân biệt là: \[ 0 < m < 4 \] Đáp số: a) Khai triển đạo hàm: \( f'(x) = 3x^2 - 3 \) Nghiệm của đạo hàm: \( x = 1 \) hoặc \( x = -1 \) b) Điểm cực đại: \( x = -1 \), giá trị cực đại: 4 Điểm cực tiểu: \( x = 1 \), giá trị cực tiểu: 0 c) Các giá trị của tham số \( m \): \( 0 < m < 4 \) Câu 2: a) Tìm tọa độ của $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$. - Tọa độ của $\overrightarrow{AB}$: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-2 - 3, 4 - 1, 3 + 2) = (-5, 3, 5) \] - Tọa độ của $\overrightarrow{BC}$: \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (0 + 2, -4 - 4, 2 - 3) = (2, -8, -1) \] - Tọa độ của $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = (-5 + 2, 3 - 8, 5 - 1) = (-3, -5, 4) \] b) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành. Trong hình bình hành, ta có: \[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \] Tọa độ của $\overrightarrow{AD}$: \[ \overrightarrow{AD} = D - A \] Do đó: \[ D - A = \overrightarrow{BC} \Rightarrow D = A + \overrightarrow{BC} \] Thay tọa độ của A và $\overrightarrow{BC}$ vào: \[ D = (3, 1, -2) + (2, -8, -1) = (3 + 2, 1 - 8, -2 - 1) = (5, -7, -3) \] c) Tính $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ và tìm cos góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$. - Tọa độ của $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (0 - 3, -4 - 1, 2 + 2) = (-3, -5, 4) \] - Tích vô hướng $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-5) \cdot (-3) + 3 \cdot (-5) + 5 \cdot 4 = 15 - 15 + 20 = 20 \] - Độ dài của $\overrightarrow{AB}$: \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-5)^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 9 + 25} = \sqrt{59} \] - Độ dài của $\overrightarrow{AC}$: \[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-3)^2 + (-5)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 25 + 16} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \] - Cos góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: \[ \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}|} = \frac{20}{\sqrt{59} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{20}{5\sqrt{118}} = \frac{4}{\sqrt{118}} = \frac{4\sqrt{118}}{118} = \frac{2\sqrt{118}}{59} \] Đáp số: a) Tọa độ của $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ là $(-3, -5, 4)$. b) Tọa độ của điểm D là $(5, -7, -3)$. c) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 20$, $\cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \frac{2\sqrt{118}}{59}$.