giúp với ạ Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho $A(2;0;0),~B(0;2;0),~C(0;0;3)$,a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là $\overrightarrow n=(3;3;2).$,b) Mặt phẳng đi qua C và vuông góc với đường thẳng AB có phương trình là $x-y=0.$,c) Mặt phẳng chứa đường thẳng AB và vuông góc với (ABC) có phương trình là,$x+y-3z+2=0..$,d) Gọi $M(a;b;c)\in(Oyz)$ sao cho $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|$ nhỏ nhất,khi đó $3(a+b)+c=5.$,Câu 4: Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm $A(3;1;1)$ và hai mặt phẳng $(P):~x-2y+2z-3=0,$,$(Q):~-x+2y-2z+1=0.$,a) Hai mặt phẳng (P) và (Q) song song nhau.,b) Điểm A thuộc mặt phẳng (P).,c) Khoảng cách $d(A,(Q))=2.$,d) Gọi điểm $B(x_0;y_0;z_0)\in(Q)$ sao cho khoảng cách AB ngắn nhất, khi đó ta có,$x_0+y_0+z_0=43.$

Question

Accepted Answer

Câu 3:
a) Ta có $\overrightarrow{AB}=(-2;2;0),\overrightarrow{AC}=(-2;0;3).$
Mặt phẳng (ABC) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(3;3;2).$
b) Mặt phẳng đi qua C và vuông góc với đường thẳng AB có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}=(-2;2;0).$
Phương trình mặt phẳng đó là $-2(x-0)+2(y-0)+0(z-3)=0\Leftrightarrow x-y=0.$
c) Mặt phẳng chứa đường thẳng AB và vuông góc với (ABC) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n'}=(1;1;-3).$
Phương trình mặt phẳng đó là $(x-2)+(y-0)-3(z-0)=0\Leftrightarrow x+y-3z-2=0.$
d) Ta có $\overrightarrow{MA}=(2-a;-b;-c),\overrightarrow{MB}=(-a;2-b;-c),\overrightarrow{MC}=(-a;-b;3-c).$
$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=(2-3a;2-3b;3-3c).$
$|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=\sqrt{(2-3a)^{2}+(2-3b)^{2}+(3-3c)^{2}}.$
$|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|$ nhỏ nhất khi $(2-3a)^{2}+(2-3b)^{2}+(3-3c)^{2}$ nhỏ nhất.
Ta có $(2-3a)^{2}+(2-3b)^{2}+(3-3c)^{2}\geq 0.$
Dấu bằng xảy ra khi $2-3a=0,2-3b=0,3-3c=0.$
Suy ra $a=\frac{2}{3},b=\frac{2}{3},c=1.$
Vậy $3(a+b)+c=5.$

Câu 4:
a) Ta thấy $\vec{n}_P=(1;-2;2)$ và $\vec{n}_Q=(-1;2;-2).$

$\vec{n}_P=-\vec{n}_Q$ nên $(P)//(Q).$

b) Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:

$3-2	imes 1+2	imes 1-3=0$ (luôn đúng)

Vậy điểm A thuộc mặt phẳng (P).

c) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (Q) là:

$d(A,(Q))=\frac{|-3+2	imes 1-2	imes 1+1|}{\sqrt{(-1)^2+2^2+(-2)^2}}=\frac{2}{3}.$

d) Gọi B là hình chiếu của A trên mặt phẳng (Q) thì AB vuông góc với mặt phẳng (Q).

Phương trình đường thẳng AB có dạng:

$\frac{x-3}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-1}{2}=t$

Tọa độ của điểm B là $(t+3;-2t+1;2t+1).$

Thay tọa độ của B vào phương trình mặt phẳng (Q) ta được:

$-(t+3)+2(-2t+1)-2(2t+1)+1=0$

$t=-\frac{4}{9}.$

Tọa độ của điểm B là $(\frac{23}{9};\frac{17}{9};\frac{1}{9}).$

Vậy $x_0+y_0+z_0=\frac{23}{9}+\frac{17}{9}+\frac{1}{9}=\frac{41}{9}
eq 43.$