Cứu mình với mọi người

Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;3;−1) và B(0;1;0).

a) Mặt cầu tâm A và đi qua B có phương trình là (x−2)2+(y−3)2+(z+1)2=6.

Để kiểm tra đáp án này, ta cần tính bán kính của mặt cầu tâm A đi qua B. Bán kính R chính là độ dài đoạn thẳng AB.

AB=(0−2;1−3;0−(−1))=(−2;−2;1)

R=AB=(−2)2+(−2)2+12​=4+4+1​=9​=3

Phương trình mặt cầu tâm A(x0​;y0​;z0​) có bán kính R là:

(x−x0​)2+(y−y0​)2+(z−z0​)2=R2

Trong trường hợp này, tâm A(2;3;−1) và R=3, nên phương trình mặt cầu là:

(x−2)2+(y−3)2+(z−(−1))2=32

(x−2)2+(y−3)2+(z+1)2=9

Vậy, đáp án a) sai vì vế phải của phương trình là 6 chứ không phải 9.

b) Mặt cầu đường kính AB có phương trình là x2+y2+z2−2x−4y+z+5=0.

Mặt cầu đường kính AB sẽ có tâm là trung điểm I của đoạn thẳng AB và bán kính bằng một nửa độ dài AB.

Tọa độ trung điểm I của AB là:

I=(22+0​;23+1​;2−1+0​)=(1;2;−21​)

Bán kính R=2AB​=23​.

Phương trình mặt cầu tâm I(1;2;−21​) bán kính 23​ là:

(x−1)2+(y−2)2+(z+21​)2=(23​)2

(x−1)2+(y−2)2+(z+21​)2=49​

Khai triển phương trình này:

(x2−2x+1)+(y2−4y+4)+(z2+z+41​)=49​

x2+y2+z2−2x−4y+z+1+4+41​−49​=0

x2+y2+z2−2x−4y+z+5+41−9​=0

x2+y2+z2−2x−4y+z+5−48​=0

x2+y2+z2−2x−4y+z+5−2=0

x2+y2+z2−2x−4y+z+3=0

Phương trình trong đáp án b) là x2+y2+z2−2x−4y+z+5=0.

Vậy, đáp án b) sai.

c) Tập hợp tất cả các điểm M trong không gian thỏa mãn MA⋅MB=4 là một mặt cầu.

Ta có MA=(2−x;3−y;−1−z) và MB=(0−x;1−y;0−z)=(−x;1−y;−z).

MA⋅MB=(2−x)(−x)+(3−y)(1−y)+(−1−z)(−z)=4

−2x+x2+3−3y−y+y2+z+z2=4

x2−2x+y2−4y+z2+z+3=4

x2−2x+y2−4y+z2+z−1=0

Để xem đây có phải là phương trình mặt cầu không, ta cần đưa nó về dạng (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2.

(x2−2x+1)+(y2−4y+4)+(z2+z+41​)−1−1−4−41​=0

(x−1)2+(y−2)2+(z+21​)2=6+41​=425​

Đây là phương trình của một mặt cầu có tâm (1;2;−21​) và bán kính 425​​=25​.

Vậy, đáp án c) đúng.

d) Tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn ∣MA+MB∣=15 là một mặt cầu có tâm là trung điểm của AB và bán kính m=215​.

MA+MB=(2−x−x;3−y+1−y;−1−z−z)=(2−2x;4−2y;−1−2z)

∣MA+MB∣=(2−2x)2+(4−2y)2+(−1−2z)2​=15

(2−2x)2+(4−2y)2+(−1−2z)2=152=225

4(1−x)2+4(2−y)2+4(−21​−z)2=225

(x−1)2+(y−2)2+(z+21​)2=4225​

Đây là phương trình của một mặt cầu có tâm (1;2;−21​), chính là trung điểm của AB, và bán kính R=4225​​=215​.

Vậy, đáp án d) đúng.

Kết luận: Các đáp án c) và d) đều đúng. Tuy nhiên, thông thường trong các câu trắc nghiệm chỉ có một đáp án đúng. Có thể có sự nhầm lẫn trong đề bài hoặc các lựa chọn.

Nếu bạn cần chọn một đáp án duy nhất, hãy xem xét lại yêu cầu của câu hỏi hoặc các thông tin bổ sung khác (nếu có). Trong trường hợp này, cả c) và d) đều mô tả tập hợp điểm là một mặt cầu với các đặc điểm khác nhau.

Nếu phải chọn một, có lẽ câu c) tập trung trực tiếp vào tích vô hướng, một tính chất đặc trưng liên quan đến mặt cầu đường kính một đoạn thẳng (dù giá trị không phải là 0). Câu d) lại liên quan đến tổng vectơ, dẫn đến mặt cầu có tâm là trung điểm.

Nếu không có thêm thông tin, cả c) và d) đều là các khẳng định đúng về tập hợp điểm trong không gian là một mặt cầu.