giải bài tập với ạ Dote,Đề Mẫu KTTX.,$ ightarrow qua-A(1;2;3).B(-3;2;1)$,$\left\{\begin{array}lqua~A(-1;3;5)~và~//\frac x7=\frac{y-2}3=\frac{+2}{-2}\qua~A(1;22;3)~và\bot x+y-3z+1=0\end{array} ight.$,Câu 1: pt đg thẳng,qua A (1;3; -5) và //Oz,Câu 2: khoảng cách 2 đg chéo nhau : $(\Delta_1):\left\{\begin{array}lx=1+t\y=-2+3t\z=2-4t\end{array} ight.(\Delta_2)\frac{x+1}2=\frac{y-2}{-3}=\frac{z-3}4$,$a)~d(\Delta_1;\Delta_2)$,b) Vị trí tương đối của $(\Delta_1);(\Delta_2)$,c) tính góc ( Đ1 ; A2),Câu 3: Xđ tâm vị BK của các mặt cầu sau :,$a)~(S_1):~(x-1)^2+(y+3)^2+z^2=2$,$b)~(S_2):~x^2+y^2+z^2-4x+6y-8z-10=0$

Question

giải bài tập với ạ Dote,Đề Mẫu KTTX.,$ightarrow qua-A(1;2;3).B(-3;2;1)$,$\left\{\begin{array}lqua~A(-1;3;5)~và~//\frac x7=\frac{y-2}3=\frac{+2}{-2}\qua~A(1;22;3)~và\bot x+y-3z+1=0\end{array}ight.$,Câu 1: pt đg thẳng,qua A (1;3; -5) và //Oz,Câu 2: khoảng cách 2 đg chéo nhau : $(\Delta_1):\left\{\begin{array}lx=1+t\y=-2+3t\z=2-4t\end{array}ight.(\Delta_2)\frac{x+1}2=\frac{y-2}{-3}=\frac{z-3}4$,$a)~d(\Delta_1;\Delta_2)$,b) Vị trí tương đối của $(\Delta_1);(\Delta_2)$,c) tính góc ( Đ1 ; A2),Câu 3: Xđ tâm vị BK của các mặt cầu sau :,$a)~(S_1):~(x-1)^2+(y+3)^2+z^2=2$,$b)~(S_2):~x^2+y^2+z^2-4x+6y-8z-10=0$

Accepted Answer

Câu 1:
Để viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $A(1; 3; -5)$ và song song với trục Oz, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định vectơ chỉ phương: 
   Vì đường thẳng song song với trục Oz, nên vectơ chỉ phương của đường thẳng này sẽ là $\vec{u} = (0; 0; 1)$.

2. Viết phương trình tham số:
   Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $A(1; 3; -5)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (0; 0; 1)$ là:
   $$
   \begin{cases}
   x = 1 \
   y = 3 \
   z = -5 + t
   \end{cases}
   $$
   trong đó $t$ là tham số.

3. Viết phương trình đại lượng:
   Từ phương trình tham số, ta có thể viết phương trình đại lượng của đường thẳng:
   $$
   \frac{x - 1}{0} = \frac{y - 3}{0} = \frac{z + 5}{1}
   $$

Tóm lại, phương trình đường thẳng đi qua điểm $A(1; 3; -5)$ và song song với trục Oz là:
$$
\frac{x - 1}{0} = \frac{y - 3}{0} = \frac{z + 5}{1}
$$

Câu 2:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu.

Phần a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương của hai đường thẳng
- Đường thẳng $\Delta_1$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}_1 = (1, 3, -4)$.
- Đường thẳng $\Delta_2$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}_2 = (2, -3, 4)$.

Bước 2: Xác định hai điểm trên mỗi đường thẳng
- Điểm $A(1, -2, 2)$ thuộc $\Delta_1$.
- Điểm $B(-1, 2, 3)$ thuộc $\Delta_2$.

Bước 3: Xác định vectơ $\vec{AB}$
$$
\vec{AB} = B - A = (-1 - 1, 2 + 2, 3 - 2) = (-2, 4, 1)
$$

Bước 4: Tính diện tích hình bình hành tạo bởi $\vec{u}_1$, $\vec{u}_2$, và $\vec{AB}$
Diện tích hình bình hành là:
$$
S = |\vec{u}_1 \times \vec{u}_2|
$$
Tính tích vector:
$$
\vec{u}_1 \times \vec{u}_2 = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
1 & 3 & -4 \
2 & -3 & 4
\end{vmatrix} = \mathbf{i}(3 \cdot 4 - (-4) \cdot (-3)) - \mathbf{j}(1 \cdot 4 - (-4) \cdot 2) + \mathbf{k}(1 \cdot (-3) - 3 \cdot 2)
$$
$$
= \mathbf{i}(12 - 12) - \mathbf{j}(4 + 8) + \mathbf{k}(-3 - 6) = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(12) + \mathbf{k}(-9) = (0, -12, -9)
$$
$$
|\vec{u}_1 \times \vec{u}_2| = \sqrt{0^2 + (-12)^2 + (-9)^2} = \sqrt{0 + 144 + 81} = \sqrt{225} = 15
$$

Bước 5: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
Khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng chéo nhau là:
$$
d = \frac{|\vec{AB} \cdot (\vec{u}_1 \times \vec{u}_2)|}{|\vec{u}_1 \times \vec{u}_2|}
$$
Tính tích vô hướng:
$$
\vec{AB} \cdot (\vec{u}_1 \times \vec{u}_2) = (-2, 4, 1) \cdot (0, -12, -9) = -2 \cdot 0 + 4 \cdot (-12) + 1 \cdot (-9) = 0 - 48 - 9 = -57
$$
$$
d = \frac{|-57|}{15} = \frac{57}{15} = \frac{19}{5}
$$

Phần b) Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Hai đường thẳng chéo nhau vì chúng không song song và không cắt nhau.

Phần c) Tính góc giữa hai đường thẳng

Bước 1: Tính cosin của góc giữa hai vectơ chỉ phương
$$
\cos \theta = \frac{\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2}{|\vec{u}_1| |\vec{u}_2|}
$$
Tính tích vô hướng:
$$
\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = (1, 3, -4) \cdot (2, -3, 4) = 1 \cdot 2 + 3 \cdot (-3) + (-4) \cdot 4 = 2 - 9 - 16 = -23
$$
Tính độ dài các vectơ:
$$
|\vec{u}_1| = \sqrt{1^2 + 3^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 9 + 16} = \sqrt{26}
$$
$$
|\vec{u}_2| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29}
$$
$$
\cos \theta = \frac{-23}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{29}} = \frac{-23}{\sqrt{754}}
$$

Bước 2: Tính góc $\theta$
$$
\theta = \arccos \left( \frac{-23}{\sqrt{754}} \right)
$$

Kết luận
a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng là $\frac{19}{5}$.
b) Hai đường thẳng chéo nhau.
c) Góc giữa hai đường thẳng là $\theta = \arccos \left( \frac{-23}{\sqrt{754}} \right)$.

Câu 3:
Để xác định tâm và bán kính của các mặt cầu, ta thực hiện như sau:

a) Mặt cầu $(S_1): (x-1)^2 + (y+3)^2 + z^2 = 2$

Phương trình này đã ở dạng chuẩn của mặt cầu:
$$ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 $$
Trong đó, tâm của mặt cầu là $(a, b, c)$ và bán kính là $R$.

So sánh với phương trình chuẩn, ta nhận thấy:
$$ a = 1, \quad b = -3, \quad c = 0, \quad R^2 = 2 $$

Do đó, tâm của mặt cầu $(S_1)$ là $(1, -3, 0)$ và bán kính là $\sqrt{2}$.

b) Mặt cầu $(S_2): x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 6y - 8z - 10 = 0$

Đầu tiên, ta nhóm các hạng tử liên quan đến mỗi biến lại và hoàn thành bình phương:
$$ x^2 - 4x + y^2 + 6y + z^2 - 8z = 10 $$

Hoàn thành bình phương cho từng biến:
$$ (x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) + (z^2 - 8z + 16) = 10 + 4 + 9 + 16 $$
$$ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 + (z - 4)^2 = 39 $$

Bây giờ, phương trình đã ở dạng chuẩn của mặt cầu:
$$ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 $$
Trong đó, tâm của mặt cầu là $(a, b, c)$ và bán kính là $R$.

So sánh với phương trình chuẩn, ta nhận thấy:
$$ a = 2, \quad b = -3, \quad c = 4, \quad R^2 = 39 $$

Do đó, tâm của mặt cầu $(S_2)$ là $(2, -3, 4)$ và bán kính là $\sqrt{39}$.

Kết luận:
- Tâm của mặt cầu $(S_1)$ là $(1, -3, 0)$ và bán kính là $\sqrt{2}$.
- Tâm của mặt cầu $(S_2)$ là $(2, -3, 4)$ và bán kính là $\sqrt{39}$.