giúp với ạ Câu 1: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm $A(1;2;5)$ và mặt phẳng,$(\alpha):~x+2y+2z-6=0.$,a) Véc tơ $\overrightarrow n=(1;2;2)$ là một vectơ pháp tuyến của $(\alpha).$,b) Phương trình mặt phẳng (B) đi qua điểm A và song song với mặt phẳng $(\alpha)$ có phương,trình $x+2y+2z+15=0$,c) Phương trình mặt phẳng $(\gamma)$ đi qua hai điểm O và A đồng thời vuông góc với mặt phẳng,(a) có phương trình $2x-y=0.$,d) Điểm $M\in(\alpha)$ sao cho A,O,M thẳng hàng thì tọa độ $M(\frac25;\frac45;2).$,Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm $A(1;2;1),~B(-2;1;3),~C(2;-1;1)$ và,$D(0;3;1).$,a) Phương trình mặt phẳng (ABC) là $3x+y+5z-10=0.$,b) Bốn điểm A,B,C,D tạo thành tứ diện.,c) Mặt phẳng (P) chứa AB và song song với CD có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow a=(4;-2;7).$,d) Có 2 mặt phẳng đi qua 2 điểm A,B sao cho khoảng cách từ C và D đến mặt phẳng đó,bằng nhau. Cả 2 mặt phẳng này đều đi qua điểm $M(1;2;1).$

Question

Accepted Answer

Câu 1:
a) Đúng vì véc tơ $\overrightarrow{n}=(1;2;2)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$.

b) Sai vì phương trình mặt phẳng (B) đi qua điểm A và song song với mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình $x + 2y + 2z - 15 = 0$.

Lý do: Mặt phẳng (B) song song với mặt phẳng $(\alpha)$ nên có cùng vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (1;2;2)$. Mặt phẳng (B) đi qua điểm A(1;2;5), thay vào phương trình mặt phẳng ta có:
$$ 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 5 + d = 0 $$
$$ 1 + 4 + 10 + d = 0 $$
$$ 15 + d = 0 $$
$$ d = -15 $$

Do đó phương trình mặt phẳng (B) là:
$$ x + 2y + 2z - 15 = 0 $$

c) Đúng vì phương trình mặt phẳng $(\gamma)$ đi qua hai điểm O và A đồng thời vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình $2x - y = 0$.

Lý do: Mặt phẳng $(\gamma)$ đi qua hai điểm O(0;0;0) và A(1;2;5), và vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (1;2;2)$. Do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\gamma)$ sẽ vuông góc với $\overrightarrow{n}$. Ta có thể chọn vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\gamma)$ là $\overrightarrow{OA} = (1;2;5)$. Mặt phẳng $(\gamma)$ có phương trình:
$$ a(x - 0) + b(y - 0) + c(z - 0) = 0 $$
$$ ax + by + cz = 0 $$

Do mặt phẳng $(\gamma)$ vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$, ta có:
$$ a \cdot 1 + b \cdot 2 + c \cdot 2 = 0 $$
$$ a + 2b + 2c = 0 $$

Chọn $a = 2$, $b = -1$, $c = 0$ thỏa mãn điều kiện trên, ta có phương trình mặt phẳng $(\gamma)$ là:
$$ 2x - y = 0 $$

d) Đúng vì điểm $M \in (\alpha)$ sao cho A, O, M thẳng hàng thì tọa độ $M(\frac{2}{5}; \frac{4}{5}; 2)$.

Lý do: Điểm M thuộc mặt phẳng $(\alpha)$ và thẳng hàng với A và O, tức là M nằm trên đường thẳng OA. Đường thẳng OA có phương trình tham số:
$$ x = t, \quad y = 2t, \quad z = 5t $$

Thay vào phương trình mặt phẳng $(\alpha)$:
$$ t + 2 \cdot 2t + 2 \cdot 5t - 6 = 0 $$
$$ t + 4t + 10t - 6 = 0 $$
$$ 15t - 6 = 0 $$
$$ t = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} $$

Do đó tọa độ của điểm M là:
$$ M\left(\frac{2}{5}, \frac{4}{5}, 2\right) $$

Câu 2:
a) Ta có $\overrightarrow{AB}=(-3;-1;2)$ và $\overrightarrow{AC}=(1;-3;0)$
Phương trình mặt phẳng (ABC) có dạng: $-x+3y+z+d=0$
Thay tọa độ điểm $A(1;2;1)$ vào ta được $d=-10$
Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) là $-x+3y+z-10=0$
b) Ta có $\overrightarrow{AD}=(-1;1;0)$
$\left | \begin{matrix}
-3 & -1 & 2 \ 
1 & -3 & 0 \ 
-1 & 1 & 0
\end{matrix} \right |=0$ nên bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng. Vậy bốn điểm A,B,C,D tạo thành tứ diện.
c) Mặt phẳng (P) chứa AB và song song với CD có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(4;-2;7)$
d) Mặt phẳng đi qua 2 điểm A,B sao cho khoảng cách từ C và D đến mặt phẳng đó bằng nhau chính là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng CD và vuông góc với đường thẳng CD. 
Ta có $CD=2$ nên có 2 mặt phẳng thỏa mãn đề bài. 
Trung điểm của đoạn thẳng CD là $M(1;2;1)$ nên cả 2 mặt phẳng này đều đi qua điểm $M(1;2;1)$.