Giải câu hỏi

Câu 7: Để tính $|\overrightarrow a + 3\overrightarrow b|$, ta sử dụng công thức tính độ dài vectơ tổng của hai vectơ: \[ |\overrightarrow a + 3\overrightarrow b|^2 = (\overrightarrow a + 3\overrightarrow b) \cdot (\overrightarrow a + 3\overrightarrow b) \] Áp dụng công thức nhân vô hướng: \[ |\overrightarrow a + 3\overrightarrow b|^2 = \overrightarrow a \cdot \overrightarrow a + 2 \cdot 3 \cdot \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + (3\overrightarrow b) \cdot (3\overrightarrow b) \] \[ |\overrightarrow a + 3\overrightarrow b|^2 = |\overrightarrow a|^2 + 6 \cdot \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + 9 \cdot |\overrightarrow b|^2 \] Biết rằng $|\overrightarrow a| = 3$, $|\overrightarrow b| = 6$, và góc giữa $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ là $150^\circ$. Ta có: \[ \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = |\overrightarrow a| \cdot |\overrightarrow b| \cdot \cos(150^\circ) \] \[ \cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] Do đó: \[ \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 3 \cdot 6 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -9\sqrt{3} \] Thay vào công thức trên: \[ |\overrightarrow a + 3\overrightarrow b|^2 = 3^2 + 6 \cdot (-9\sqrt{3}) + 9 \cdot 6^2 \] \[ |\overrightarrow a + 3\overrightarrow b|^2 = 9 - 54\sqrt{3} + 324 \] \[ |\overrightarrow a + 3\overrightarrow b|^2 = 333 - 54\sqrt{3} \] Lấy căn bậc hai để tìm độ dài: \[ |\overrightarrow a + 3\overrightarrow b| = \sqrt{333 - 54\sqrt{3}} \] Sử dụng máy tính để làm tròn kết quả đến hàng phần trăm: \[ |\overrightarrow a + 3\overrightarrow b| \approx 15.65 \] Vậy, $|\overrightarrow a + 3\overrightarrow b| \approx 15.65$. Câu 8: a) Ta có: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{A^\prime D^\prime} + \overrightarrow{CC^\prime} \] Trong hình hộp chữ nhật, ta có: \[ \overrightarrow{A^\prime D^\prime} = \overrightarrow{AD} \] \[ \overrightarrow{CC^\prime} = \overrightarrow{AA^\prime} \] Do đó: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{A^\prime D^\prime} + \overrightarrow{CC^\prime} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA^\prime} \] Ta thấy rằng: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA^\prime} = \overrightarrow{AC^\prime} \] Tính độ dài của véc-tơ $\overrightarrow{AC^\prime}$: \[ |\overrightarrow{AC^\prime}| = \sqrt{(AB)^2 + (AD)^2 + (AA^\prime)^2} = \sqrt{(2a)^2 + (3a)^2 + (4a)^2} = \sqrt{4a^2 + 9a^2 + 16a^2} = \sqrt{29a^2} = a\sqrt{29} \] Vậy: \[ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{A^\prime D^\prime} + \overrightarrow{CC^\prime}| = a\sqrt{29} \] b) Ta tính $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DB}$: \[ \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} \] Trong hình hộp chữ nhật, ta có: \[ \overrightarrow{DA} = -\overrightarrow{AD} \] Do đó: \[ \overrightarrow{DB} = -\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} \] Tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AB} \cdot (-\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB}) = -\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} \] Trong hình hộp chữ nhật, các cạnh vuông góc với nhau nên: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0 \] Và: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = |\overrightarrow{AB}|^2 = (2a)^2 = 4a^2 \] Vậy: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DB} = 0 + 4a^2 = 4a^2 \] Đáp số: a) $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{A^\prime D^\prime} + \overrightarrow{CC^\prime}| = a\sqrt{29}$ b) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DB} = 4a^2$