Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Câu 8. Để tìm véc tơ có độ dài bằng 5, ta cần tính độ dài của mỗi véc tơ và so sánh với 5. - Độ dài của véc tơ $\overrightarrow{a} = (\sqrt{3}, \sqrt{2})$: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{3 + 2} = \sqrt{5} \neq 5 \] - Độ dài của véc tơ $\overrightarrow{b} = (\sqrt{11}, \sqrt{14})$: \[ |\overrightarrow{b}| = \sqrt{(\sqrt{11})^2 + (\sqrt{14})^2} = \sqrt{11 + 14} = \sqrt{25} = 5 \] - Độ dài của véc tơ $\overrightarrow{c} = (3, 2)$: \[ |\overrightarrow{c}| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \neq 5 \] - Độ dài của véc tơ $\overrightarrow{d} = (2, 1)$: \[ |\overrightarrow{d}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \neq 5 \] Như vậy, véc tơ có độ dài bằng 5 là $\overrightarrow{b} = (\sqrt{11}, \sqrt{14})$. Đáp án đúng là: B. $\overrightarrow{b} = (\sqrt{11}, \sqrt{14})$. Câu 9. Để tìm véc tơ có độ dài bằng 4, ta cần tính độ dài của mỗi véc tơ đã cho và so sánh với 4. - Độ dài của véc tơ $\overrightarrow{a} = (\sqrt{2}; \sqrt{2})$: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2 \] - Độ dài của véc tơ $\overrightarrow{b} = (\sqrt{3}; 1)$: \[ |\overrightarrow{b}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2 \] - Độ dài của véc tơ $\overrightarrow{c} = (\sqrt{7}; 3)$: \[ |\overrightarrow{c}| = \sqrt{(\sqrt{7})^2 + 3^2} = \sqrt{7 + 9} = \sqrt{16} = 4 \] - Độ dài của véc tơ $\overrightarrow{d} = (2; 2)$: \[ |\overrightarrow{d}| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] Như vậy, trong các véc tơ đã cho, chỉ có véc tơ $\overrightarrow{c} = (\sqrt{7}; 3)$ có độ dài bằng 4. Đáp án đúng là: C. $\overrightarrow{c} = (\sqrt{7}; 3)$. Câu 10. Để tính tích vô hướng của hai véc tơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$, ta sử dụng công thức: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}| \cdot \cos(\theta) \] Trong đó: - $|\overrightarrow{u}| = 4$ - $|\overrightarrow{v}| = 6$ - $\theta = 30^\circ$ Bước 1: Tính $\cos(30^\circ)$ \[ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Bước 2: Thay các giá trị vào công thức \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 4 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] Bước 3: Thực hiện phép nhân \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \] Vậy, tích vô hướng của hai véc tơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 12\sqrt{3} \] Đáp án đúng là: A. $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 12\sqrt{3}$. Câu 11. Hai véc tơ $\overrightarrow{u} = (u_1, u_2)$ và $\overrightarrow{v} = (v_1, v_2)$ vuông góc với nhau nếu tích vô hướng của chúng bằng 0, tức là: \[ u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 = 0 \] Ta sẽ kiểm tra từng cặp véc tơ: A. $\overrightarrow{u} = (3, -6)$ và $\overrightarrow{v} = (2, -1)$ \[ 3 \cdot 2 + (-6) \cdot (-1) = 6 + 6 = 12 \neq 0 \] Do đó, cặp véc tơ này không vuông góc với nhau. B. $\overrightarrow{u} = (3, 6)$ và $\overrightarrow{v} = (2, -1)$ \[ 3 \cdot 2 + 6 \cdot (-1) = 6 - 6 = 0 \] Do đó, cặp véc tơ này vuông góc với nhau. C. $\overrightarrow{u} = (3, 6)$ và $\overrightarrow{v} = (2, 1)$ \[ 3 \cdot 2 + 6 \cdot 1 = 6 + 6 = 12 \neq 0 \] Do đó, cặp véc tơ này không vuông góc với nhau. D. $\overrightarrow{u} = (-3, 6)$ và $\overrightarrow{v} = (2, -1)$ \[ -3 \cdot 2 + 6 \cdot (-1) = -6 - 6 = -12 \neq 0 \] Do đó, cặp véc tơ này không vuông góc với nhau. Vậy cặp véc tơ vuông góc với nhau là: \[ \boxed{B. \overrightarrow{u} = (3, 6) \text{ và } \overrightarrow{v} = (2, -1)} \] Câu 12. Hai véc tơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ vuông góc với nhau thì tích vô hướng của chúng bằng 0, tức là $\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 0$. Ta sẽ kiểm tra từng cặp tọa độ để tìm ra cặp nào thỏa mãn điều kiện này. A. Với $\overrightarrow u = (2, -5)$ và $\overrightarrow v = (5, -2)$: \[ \overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 2 \times 5 + (-5) \times (-2) = 10 + 10 = 20 \neq 0 \] Cặp này không thỏa mãn. B. Với $\overrightarrow u = (3, 1)$ và $\overrightarrow v = (-2, -6)$: \[ \overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 3 \times (-2) + 1 \times (-6) = -6 - 6 = -12 \neq 0 \] Cặp này không thỏa mãn. C. Với $\overrightarrow u = (-1, 2)$ và $\overrightarrow v = (4, 2)$: \[ \overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = (-1) \times 4 + 2 \times 2 = -4 + 4 = 0 \] Cặp này thỏa mãn. D. Với $\overrightarrow u = (-3, 2)$ và $\overrightarrow v = (-2, 3)$: \[ \overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = (-3) \times (-2) + 2 \times 3 = 6 + 6 = 12 \neq 0 \] Cặp này không thỏa mãn. Vậy đáp án đúng là: C. $(-1, 2)$ và $(4, 2)$. Câu 13. Để tính $\cos(\overrightarrow u,\overrightarrow v)$, ta sử dụng công thức: \[ \cos(\overrightarrow u,\overrightarrow v) = \frac{\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v}{|\overrightarrow u| |\overrightarrow v|} \] Trước tiên, ta tính tích vô hướng $\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v$: \[ \overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 3 \times 2 + 4 \times 1 = 6 + 4 = 10 \] Tiếp theo, ta tính độ dài của các véc tơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$: \[ |\overrightarrow u| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] \[ |\overrightarrow v| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \] Bây giờ, ta thay các giá trị đã tính vào công thức: \[ \cos(\overrightarrow u,\overrightarrow v) = \frac{10}{5 \times \sqrt{5}} = \frac{10}{5\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \] Vậy đáp án đúng là: D. $\cos(\overrightarrow u,\overrightarrow v) = \frac{2\sqrt{5}}{5}$. Câu 14. Để tính góc giữa hai véc tơ $\overrightarrow{u} = (1; 1)$ và $\overrightarrow{v} = (2; 0)$, ta sử dụng công thức tính cosin của góc giữa hai véc tơ: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}|} \] Trước tiên, ta tính tích vô hướng của hai véc tơ: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 0 = 2 \] Tiếp theo, ta tính độ dài của mỗi véc tơ: \[ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \] \[ |\overrightarrow{v}| = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2 \] Bây giờ, ta thay các giá trị này vào công thức: \[ \cos(\theta) = \frac{2}{\sqrt{2} \cdot 2} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Ta biết rằng $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, do đó góc giữa hai véc tơ là: \[ \theta = 45^\circ \] Vậy đáp án đúng là: A. $(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = 45^\circ$.