16: (3,0 điểm). 1. Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba cất các tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở E và F....

Câu 16 a) Chứng minh tam giác AMB vuông và AM vuông góc EO - Vì M thuộc nửa đường tròn (O) có đường kính AB nên theo tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, ta có: \[ \angle AMB = 90^\circ \] Do đó, tam giác AMB là tam giác vuông tại M. - Tiếp theo, ta chứng minh AM vuông góc với EO. Ta biết rằng tiếp tuyến tại M vuông góc với bán kính OM. Do đó, ta có: \[ ME \perp OM \quad \text{và} \quad MF \perp OM \] - Xét tam giác OME và tam giác OMF, ta thấy: \[ OM = OM \quad (\text{chung}) \] \[ ME = MF \quad (\text{tiếp tuyến từ một điểm đến một đường tròn bằng nhau}) \] \[ \angle OME = \angle OMF = 90^\circ \] Do đó, tam giác OME và tam giác OMF bằng nhau (cạnh huyền - cạnh góc vuông). Từ đó suy ra: \[ \angle OEM = \angle OFM \] - Vì Ax và By là hai tiếp tuyến tại A và B nên: \[ \angle OAE = \angle OBF = 90^\circ \] - Xét tam giác OAE và tam giác OBF, ta thấy: \[ OA = OB \quad (\text{bán kính}) \] \[ \angle OAE = \angle OBF = 90^\circ \] \[ AE = BF \quad (\text{tiếp tuyến từ một điểm đến một đường tròn bằng nhau}) \] Do đó, tam giác OAE và tam giác OBF bằng nhau (cạnh huyền - cạnh góc vuông). Từ đó suy ra: \[ \angle AOE = \angle BOF \] - Kết hợp với \(\angle OEM = \angle OFM\), ta có: \[ \angle AOE + \angle OEM = \angle BOF + \angle OFM \] - Vì \(\angle AOE + \angle OEM = 90^\circ\) (góc phẳng), ta có: \[ \angle BOF + \angle OFM = 90^\circ \] - Do đó, ta có: \[ \angle EOM = 90^\circ \] - Vì \(\angle EOM = 90^\circ\) và \(\angle AMB = 90^\circ\), ta suy ra: \[ AM \perp EO \] b) Gọi H là giao điểm của EO và AM, K là giao điểm của EB và (O). Chứng minh: \[ EK \cdot EB = EH \cdot EO \] - Ta xét tam giác EKB và tam giác EHO, ta thấy: \[ \angle EKB = \angle EHO = 90^\circ \quad (\text{góc nội tiếp và góc tiếp tuyến}) \] \[ \angle BEK = \angle HEK \quad (\text{góc chung}) \] Do đó, tam giác EKB và tam giác EHO đồng dạng (góc - góc). Từ đó suy ra: \[ \frac{EK}{EH} = \frac{EB}{EO} \] Nhân cả hai vế với \(EH \cdot EO\), ta được: \[ EK \cdot EO = EB \cdot EH \] Vậy ta đã chứng minh được: \[ EK \cdot EB = EH \cdot EO \]