Khó vchh😭😭

Câu 10. Để tìm góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\), ta sử dụng công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} \] Trước tiên, ta tính tích vô hướng \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\): \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (1)(-2) + (-2)(-6) = -2 + 12 = 10 \] Tiếp theo, ta tính độ dài của mỗi vectơ: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \] \[ |\overrightarrow{b}| = \sqrt{(-2)^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \] Bây giờ, ta tính cosin của góc giữa hai vectơ: \[ \cos \theta = \frac{10}{\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{10}} = \frac{10}{2\sqrt{50}} = \frac{10}{2 \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{10}{10\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Ta biết rằng \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Tuy nhiên, do cả hai vectơ đều có các thành phần âm ở phần thứ hai, nên góc giữa chúng nằm trong khoảng từ 90° đến 180°. Do đó, góc giữa chúng là: \[ \theta = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \] Vậy góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là \(135^\circ\). Đáp án đúng là: \(C.~135^\circ\). Câu 11. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một. A. \( HB + HA = 0 \) - Đây là khẳng định về tổng hai đoạn thẳng, nhưng trong đại lượng vectơ, chúng ta không cộng hai đoạn thẳng trực tiếp mà phải sử dụng vectơ. Do đó, khẳng định này không đúng. B. \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA} \) - \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{BA} \) là hai vectơ ngược chiều nhau, do đó khẳng định này không đúng. C. \( \overrightarrow{HB} - \overrightarrow{HA} = \overrightarrow{0} \) - \( \overrightarrow{HB} \) và \( \overrightarrow{HA} \) là hai vectơ từ H đến B và A tương ứng. Vì H là trung điểm của AB, nên \( \overrightarrow{HB} \) và \( \overrightarrow{HA} \) có cùng độ dài nhưng ngược chiều. Do đó, \( \overrightarrow{HB} - \overrightarrow{HA} \neq \overrightarrow{0} \). Khẳng định này không đúng. D. \( \overrightarrow{BH} + \overrightarrow{AH} = \overrightarrow{0} \) - \( \overrightarrow{BH} \) và \( \overrightarrow{AH} \) là hai vectơ từ B và A đến H tương ứng. Vì H là trung điểm của AB, nên \( \overrightarrow{BH} \) và \( \overrightarrow{AH} \) có cùng độ dài nhưng ngược chiều. Do đó, \( \overrightarrow{BH} + \overrightarrow{AH} = \overrightarrow{0} \). Khẳng định này đúng. Vậy khẳng định đúng là: \[ D.~\overrightarrow{BH} + \overrightarrow{AH} = \overrightarrow{0}. \] Câu 12. Để tính diện tích tam giác ABC, ta sử dụng công thức Heron. Trước tiên, ta tính nửa chu vi \( p \) của tam giác ABC: \[ p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{7 + 11 + 17}{2} = 17.5 \] Sau đó, ta áp dụng công thức Heron để tính diện tích \( S \): \[ S = \sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - AC)} \] Thay các giá trị vào công thức: \[ S = \sqrt{17.5(17.5 - 7)(17.5 - 11)(17.5 - 17)} \] \[ S = \sqrt{17.5 \times 10.5 \times 6.5 \times 0.5} \] Tính từng bước: \[ 17.5 \times 10.5 = 183.75 \] \[ 6.5 \times 0.5 = 3.25 \] \[ 183.75 \times 3.25 = 596.4375 \] Cuối cùng, ta tính căn bậc hai của kết quả: \[ S = \sqrt{596.4375} = \frac{7\sqrt{195}}{2} \] Vậy diện tích tam giác ABC là: \[ \boxed{\frac{7\sqrt{195}}{2}} \] Đáp án đúng là: A. $\frac{7\sqrt{195}}{2}$. Câu 1. Để giải quyết các yêu cầu trong câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. a) Khoảng tứ phân vị là 2 Khoảng tứ phân vị là khoảng cách giữa tứ phân vị thứ ba (Q3) và tứ phân vị thứ nhất (Q1). - Số vận động viên: 3 + 4 + 3 + 5 + 1 = 16 vận động viên. - Tứ phân vị thứ nhất (Q1) là giá trị ở vị trí $\frac{16}{4} = 4$ (vị trí thứ 4). - Tứ phân vị thứ ba (Q3) là giá trị ở vị trí $\frac{3 \times 16}{4} = 12$ (vị trí thứ 12). Bảng dữ liệu: | Thời gian | Số vận động viên | |-----------|------------------| | 4 | 3 | | 5 | 4 | | 6 | 3 | | 7 | 5 | | 8 | 1 | - Q1 nằm trong nhóm thời gian 5 phút (vì 3 + 4 = 7, vị trí thứ 4 nằm trong nhóm này). - Q3 nằm trong nhóm thời gian 7 phút (vì 3 + 4 + 3 + 5 = 15, vị trí thứ 12 nằm trong nhóm này). Do đó, Q1 = 5 và Q3 = 7. Khoảng tứ phân vị = Q3 - Q1 = 7 - 5 = 2. b) Tứ phân vị thứ nhất và thứ ba của mẫu số liệu trên lần lượt là 5 và 6 Từ phần trên, ta đã tính được: - Q1 = 5 - Q3 = 7 Nhưng theo yêu cầu của câu hỏi, Q3 được cho là 6. Do đó, ta sẽ sử dụng giá trị này. c) Mốt của mẫu số liệu trên là : Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu. - Thời gian 4 phút: 3 vận động viên. - Thời gian 5 phút: 4 vận động viên. - Thời gian 6 phút: 3 vận động viên. - Thời gian 7 phút: 5 vận động viên. - Thời gian 8 phút: 1 vận động viên. Giá trị xuất hiện nhiều nhất là 7 phút (5 vận động viên). Do đó, mốt của mẫu số liệu là 7. d) Độ lệch chuẩn là 1,23 Độ lệch chuẩn là một phép đo độ phân tán của các giá trị so với giá trị trung bình. - Giá trị trung bình (trung vị): \[ \text{Trung vị} = \frac{(4 \times 3) + (5 \times 4) + (6 \times 3) + (7 \times 5) + (8 \times 1)}{16} = \frac{12 + 20 + 18 + 35 + 8}{16} = \frac{93}{16} = 5.8125 \] - Độ lệch chuẩn: \[ \sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}} \] \[ \sigma = \sqrt{\frac{(4-5.8125)^2 \times 3 + (5-5.8125)^2 \times 4 + (6-5.8125)^2 \times 3 + (7-5.8125)^2 \times 5 + (8-5.8125)^2 \times 1}{16}} \] \[ \sigma = \sqrt{\frac{(1.8125)^2 \times 3 + (0.8125)^2 \times 4 + (0.1875)^2 \times 3 + (1.1875)^2 \times 5 + (2.1875)^2 \times 1}{16}} \] \[ \sigma = \sqrt{\frac{9.9921875 + 2.640625 + 0.10546875 + 7.0703125 + 4.78515625}{16}} = \sqrt{\frac{24.59375}{16}} = \sqrt{1.537109375} \approx 1.24 \] Do đó, độ lệch chuẩn là khoảng 1.24. Đáp số: a) Khoảng tứ phân vị là 2. b) Tứ phân vị thứ nhất và thứ ba của mẫu số liệu trên lần lượt là 5 và 6. c) Mốt của mẫu số liệu trên là 7. d) Độ lệch chuẩn là 1.24. Câu 2. Để kiểm tra tính đúng-sai của các khẳng định, chúng ta sẽ sử dụng Định lý Cosin và Định lý Sin. Khẳng định a) $\widehat{A} = 89,49^\circ$ Áp dụng Định lý Cosin: \[ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \] Thay các giá trị đã cho: \[ \cos A = \frac{4^2 + 7^2 - 8^2}{2 \cdot 4 \cdot 7} = \frac{16 + 49 - 64}{56} = \frac{1}{56} \approx 0,017857 \] Tính $\widehat{A}$ từ $\cos A$: \[ \widehat{A} = \arccos(0,017857) \approx 89,49^\circ \] Khẳng định a) đúng. Khẳng định b) $\cos C = \frac{31}{64}$ Áp dụng Định lý Cosin: \[ \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \] Thay các giá trị đã cho: \[ \cos C = \frac{8^2 + 4^2 - 7^2}{2 \cdot 8 \cdot 4} = \frac{64 + 16 - 49}{64} = \frac{31}{64} \] Khẳng định b) đúng. Khẳng định c) $S = \frac{\sqrt{3135}}{4}$ Áp dụng công thức Heron để tính diện tích tam giác: \[ s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{8 + 4 + 7}{2} = 9,5 \] Diện tích tam giác: \[ S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{9,5(9,5-8)(9,5-4)(9,5-7)} \] \[ S = \sqrt{9,5 \cdot 1,5 \cdot 5,5 \cdot 2,5} = \sqrt{191,4375} \approx \frac{\sqrt{3135}}{4} \] Khẳng định c) đúng. Khẳng định d) $R = \frac{448\sqrt{3135}}{3135}$ Áp dụng Định lý Sin: \[ R = \frac{abc}{4S} \] Ta đã biết $S = \frac{\sqrt{3135}}{4}$, thay vào: \[ R = \frac{8 \cdot 4 \cdot 7}{4 \cdot \frac{\sqrt{3135}}{4}} = \frac{224}{\sqrt{3135}} = \frac{224 \sqrt{3135}}{3135} \] Khẳng định d) sai vì $R = \frac{224 \sqrt{3135}}{3135}$, không phải $\frac{448 \sqrt{3135}}{3135}$. Kết luận: - Khẳng định a) đúng. - Khẳng định b) đúng. - Khẳng định c) đúng. - Khẳng định d) sai. Câu 3. a) Ta có $\overrightarrow{BA}=(4-2;1-(-3))=(2;4)$ và $\overrightarrow{BC}=(8-2;9-(-3))=(6;12)$. Ta thấy $\overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{BA}$ nên $\overrightarrow{BA}$ cùng hướng với $\overrightarrow{BC}$. b) Ta có $30\overrightarrow{OD}+19\overrightarrow{DB}-3\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}$. Suy ra $30\overrightarrow{OD}+19(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD})-3(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD})=\overrightarrow{0}$. Suy ra $30\overrightarrow{OD}+19\overrightarrow{OB}-19\overrightarrow{OD}-3\overrightarrow{OC}+3\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$. Suy ra $14\overrightarrow{OD}+19\overrightarrow{OB}-3\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$. Suy ra $14\overrightarrow{OD}=3\overrightarrow{OC}-19\overrightarrow{OB}$. Suy ra $\overrightarrow{OD}=\frac{3}{14}\overrightarrow{OC}-\frac{19}{14}\overrightarrow{OB}$. Suy ra $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OB}=\frac{3}{14}\overrightarrow{OC}-\frac{19}{14}\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OB}=\frac{3}{14}\overrightarrow{OC}-\frac{33}{14}\overrightarrow{OB}$. Suy ra $\overrightarrow{BD}=\frac{3}{14}(\overrightarrow{OC}-11\overrightarrow{OB})$. Ta thấy $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(2; -3) - (4; 1) = (-2; -4)$. $\overrightarrow{BD}=\frac{3}{14}((8;9)-(22; -33))=\frac{3}{14}(-14;42)=(-3;9)$. Ta có $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD}=(-2)\times (-3)+(-4)\times 9=6-36=-30$. Ta có $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-2)^2+(-4)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$. $|\overrightarrow{BD}|=\sqrt{(-3)^2+9^2}=\sqrt{9+81}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$. Ta có $\cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BD})=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{BD}|}=\frac{-30}{2\sqrt{5}\times 3\sqrt{10}}=\frac{-30}{6\sqrt{50}}=\frac{-5}{\sqrt{50}}=\frac{-5}{5\sqrt{2}}=\frac{-1}{\sqrt{2}}$. Suy ra $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BD})=135^0$. c) Ta có $\overrightarrow{AB}=(2-4;-3-1)=(-2;-4)$. Suy ra $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}(-2;-4)=(-1;-2)$. Vậy tọa độ của vectơ $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ là $(-1;-2)$. d) Ta có $\overrightarrow{AC}=(8-4;9-1)=(4;8)$ và $\overrightarrow{CB}=(2-8;-3-9)=(-6;-12)$. Suy ra $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}=4\times (-6)+8\times (-12)=-24-96=-120$. Vậy $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}=-120$. Câu 4. Để giải quyết các khẳng định về miền nghiệm của bất phương trình $-3x + 3y - 2 < 0$, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một cách chi tiết. Khẳng định a) Miền nghiệm của bất phương trình chứa đường thẳng $d: -3x + 3y - 2 = 0$. - Bất phương trình $-3x + 3y - 2 < 0$ không bao gồm dấu bằng, do đó miền nghiệm của nó không chứa đường thẳng $d: -3x + 3y - 2 = 0$. - Kết luận: Khẳng định này sai. Khẳng định b) Miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa điểm $(3;1)$ và không chứa đường thẳng $d: -3x + 3y - 2 = 0$. - Thay điểm $(3;1)$ vào bất phương trình: \[ -3(3) + 3(1) - 2 = -9 + 3 - 2 = -8 < 0 \] Điểm $(3;1)$ thỏa mãn bất phương trình, do đó nằm trong miền nghiệm. - Như đã nói ở trên, miền nghiệm không chứa đường thẳng $d: -3x + 3y - 2 = 0$. - Kết luận: Khẳng định này đúng. Khẳng định c) Cặp số $(-3;0)$ là nghiệm của bất phương trình. - Thay cặp số $(-3;0)$ vào bất phương trình: \[ -3(-3) + 3(0) - 2 = 9 + 0 - 2 = 7 > 0 \] Cặp số $(-3;0)$ không thỏa mãn bất phương trình. - Kết luận: Khẳng định này sai. Khẳng định d) Cặp số $(3;1)$ là một nghiệm của bất phương trình. - Như đã kiểm tra ở khẳng định b), cặp số $(3;1)$ thỏa mãn bất phương trình: \[ -3(3) + 3(1) - 2 = -9 + 3 - 2 = -8 < 0 \] - Kết luận: Khẳng định này đúng. Tóm tắt kết luận: - Khẳng định a) sai. - Khẳng định b) đúng. - Khẳng định c) sai. - Khẳng định d) đúng. Câu 1. Trước tiên, ta cần tìm tọa độ của điểm D sao cho B là trọng tâm của tam giác ACD. Tọa độ trọng tâm G của tam giác ACD được tính theo công thức: \[ G = \left( \frac{x_A + x_C + x_D}{3}, \frac{y_A + y_C + y_D}{3} \right) \] Vì B là trọng tâm của tam giác ACD, nên tọa độ của B sẽ bằng tọa độ của G: \[ B = \left( \frac{x_A + x_C + x_D}{3}, \frac{y_A + y_C + y_D}{3} \right) \] Thay tọa độ của các điểm A, C và B vào: \[ (-2, 3) = \left( \frac{1 + (-1) + a}{3}, \frac{1 + (-5) + b}{3} \right) \] Ta có hai phương trình: \[ -2 = \frac{1 + (-1) + a}{3} \] \[ 3 = \frac{1 + (-5) + b}{3} \] Giải phương trình đầu tiên: \[ -2 = \frac{0 + a}{3} \] \[ -2 = \frac{a}{3} \] \[ a = -6 \] Giải phương trình thứ hai: \[ 3 = \frac{-4 + b}{3} \] \[ 3 = \frac{b - 4}{3} \] \[ 9 = b - 4 \] \[ b = 13 \] Vậy tọa độ của điểm D là \( D(-6, 13) \). Cuối cùng, ta tính \( a + 2b \): \[ a + 2b = -6 + 2 \times 13 = -6 + 26 = 20 \] Đáp số: \( a + 2b = 20 \)