giải bài 4

Câu 1. a) \( x^2 - 5x \) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng phương pháp nhóm các hạng tử: \[ x^2 - 5x = x(x - 5) \] b) \( x(x - 2) + x^2 - 4 \) Nhóm các hạng tử và sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: \[ x(x - 2) + x^2 - 4 = x(x - 2) + (x - 2)(x + 2) \] \[ = (x - 2)(x + x + 2) \] \[ = (x - 2)(2x + 2) \] \[ = 2(x - 2)(x + 1) \] c) \( 2x^2 + 6x - xy - 3y \) Nhóm các hạng tử và sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: \[ 2x^2 + 6x - xy - 3y = 2x(x + 3) - y(x + 3) \] \[ = (x + 3)(2x - y) \] d) \( x^2 + 2x - 3 \) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng phương pháp nhóm các hạng tử: \[ x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1) \] Đáp số: a) \( x(x - 5) \) b) \( 2(x - 2)(x + 1) \) c) \( (x + 3)(2x - y) \) d) \( (x + 3)(x - 1) \) Câu 2. a) Rút gọn biểu thức \( A \): \[ A = (x+1)^2 + (x+3)(x-3) - 12x^4 : 6x^3 \] Ta thực hiện từng bước như sau: - Đầu tiên, ta mở ngoặc biểu thức \((x+1)^2\): \[ (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 \] - Tiếp theo, ta tính hiệu \((x+3)(x-3)\) bằng cách sử dụng hằng đẳng thức \(a^2 - b^2\): \[ (x+3)(x-3) = x^2 - 9 \] - Cuối cùng, ta chia \(12x^4\) cho \(6x^3\): \[ 12x^4 : 6x^3 = 2x \] Bây giờ, ta thay các kết quả này vào biểu thức \(A\): \[ A = x^2 + 2x + 1 + x^2 - 9 - 2x \] Rút gọn biểu thức: \[ A = x^2 + x^2 + 2x - 2x + 1 - 9 = 2x^2 - 8 \] Vậy biểu thức \(A\) đã rút gọn là: \[ A = 2x^2 - 8 \] b) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 2025\): Thay \(x = 2025\) vào biểu thức \(A = 2x^2 - 8\): \[ A = 2(2025)^2 - 8 \] Tính \(2025^2\): \[ 2025^2 = 4100625 \] Nhân với 2: \[ 2 \times 4100625 = 8201250 \] Cuối cùng, trừ 8: \[ 8201250 - 8 = 8201242 \] Vậy giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 2025\) là: \[ A = 8201242 \] Câu 3. a) Lập bảng thống kê cho dữ liệu được biểu diễn trong biểu đồ: |CLB| Số học sinh| |---|---| |Nghệ thuật| 15| |Thể thao| 20| |Tổng| 35| b) Số học sinh lớp 8A tham gia CLB nghệ thuật chiếm tỉ lệ phần trăm là: \[ \frac{15}{50} \times 100 = 30 \% \] Số học sinh lớp 8A tham gia CLB thể thao chiếm tỉ lệ phần trăm là: \[ \frac{20}{50} \times 100 = 40 \% \] Câu 4. 1) Ta có M, N lần lượt là các điểm chính giữa của các đoạn thẳng CA, CB nên MN là đường trung bình của tam giác ABC. Vậy $AB = 2 \times MN = 2 \times 45 = 90$ (m) 2) a) Vì M là trung điểm của BC và E là trung điểm của AB nên ME là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, ME // AC. b) Ta có ME // AC và MF ⊥ AC, suy ra MF ⊥ ME. Mặt khác, E là trung điểm của AB nên AE = EB. Vì MF ⊥ AC nên góc AFE = 90°, suy ra góc AEM = 90°. Từ đó, tứ giác AEMF có ba góc vuông, do đó AEMF là hình chữ nhật. c) Vì F là trung điểm của MD nên MF = FD. Lại có MF ⊥ AC nên góc MFD = 90°. Vì AEMF là hình chữ nhật nên góc AEM = 90°, suy ra góc BEH = 90°. Do đó, tam giác BEH và tam giác KED có góc BEH = góc KED = 90°, BE = ED (vì E là trung điểm của BD) và EH = KD (vì H là giao điểm của BD với ME). Vậy tam giác BEH và tam giác KED bằng nhau (cạnh huyền và cạnh góc vuông). Suy ra BH = HK = KD. Câu 5. Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = x^2 + y^2 + xy \) khi \( x + y = 1 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Thay \( y = 1 - x \) vào biểu thức \( P \): \[ P = x^2 + (1 - x)^2 + x(1 - x) \] Bước 2: Rút gọn biểu thức: \[ P = x^2 + (1 - 2x + x^2) + (x - x^2) \] \[ P = x^2 + 1 - 2x + x^2 + x - x^2 \] \[ P = x^2 - x + 1 \] Bước 3: Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = x^2 - x + 1 \). Để làm điều này, ta sử dụng phương pháp hoàn chỉnh bình phương: \[ P = x^2 - x + 1 \] \[ P = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} \] Bước 4: Nhận thấy rằng \((x - \frac{1}{2})^2\) luôn không âm và đạt giá trị nhỏ nhất là 0 khi \( x = \frac{1}{2} \). Do đó: \[ P_{min} = 0 + \frac{3}{4} = \frac{3}{4} \] Khi \( x = \frac{1}{2} \), ta có \( y = 1 - x = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \). Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P \) là \( \frac{3}{4} \), đạt được khi \( x = \frac{1}{2} \) và \( y = \frac{1}{2} \). Đáp số: \( P_{min} = \frac{3}{4} \) khi \( x = \frac{1}{2} \) và \( y = \frac{1}{2} \).