Cho tam giác ABC CÓ AB < AC. Vẽ ra phía ngoài của tam giác ABC các hình vuông ABDE, ACGH.( Vẽ cả Hình) 1. Chứng minh BH = EC. 2. Vẽ hình bình hành AEFH. Chứng minh rằng AF vuông góc với BC. 3. Gọi O là...

1. Chứng minh BH = EC: - Ta có: $\widehat{BAH} = \widehat{BAC} + \widehat{CAH} = \widehat{BAC} + 90^\circ$ - $\widehat{EAC} = \widehat{BAC} + \widehat{BAE} = \widehat{BAC} + 90^\circ$ - Vậy $\widehat{BAH} = \widehat{EAC}$ - Xét tam giác BAH và tam giác EAC: + BA = EA (cạnh của hình vuông) + AH = AC (cạnh của hình vuông) + $\widehat{BAH} = \widehat{EAC}$ (chứng minh trên) - Vậy tam giác BAH = tam giác EAC (cạnh - góc - cạnh) - Suy ra: BH = EC (hai cạnh tương ứng) 2. Chứng minh AF vuông góc với BC: - Ta có: $\widehat{FAH} = \widehat{FAB} + \widehat{BAH} = 90^\circ + \widehat{BAH}$ - $\widehat{EAC} = 90^\circ + \widehat{BAH}$ (chứng minh trên) - Vậy $\widehat{FAH} = \widehat{EAC}$ - Xét tam giác FAH và tam giác EAC: + FA = EA (cạnh của hình bình hành) + AH = AC (cạnh của hình vuông) + $\widehat{FAH} = \widehat{EAC}$ (chứng minh trên) - Vậy tam giác FAH = tam giác EAC (cạnh - góc - cạnh) - Suy ra: FH = EC (hai cạnh tương ứng) - Vì tam giác BAH = tam giác EAC nên $\widehat{ABH} = \widehat{AEC}$ - Ta có: $\widehat{ABH} + \widehat{BAH} = 90^\circ$ (vì tam giác BAH vuông tại A) - Suy ra: $\widehat{AEC} + \widehat{BAH} = 90^\circ$ - Vậy $\widehat{AEC} + \widehat{BAH} = 90^\circ$ - Do đó, AF vuông góc với BC (vì $\widehat{AEC} + \widehat{BAH} = 90^\circ$) 3. Chứng minh tứ giác AMON là hình bình hành và tính góc BOC: - Ta có: O là giao điểm các đường trung trực của tam giác ABC, nên OA = OB = OC (tính chất đường trung trực) - Vì OH = OE nên tam giác OHE cân tại O - Ta có: M và N lần lượt là trung điểm của EH và BC, nên OM = ON (tính chất đường trung tuyến) - Vì OM = ON và OA = OB = OC nên tứ giác AMON là hình bình hành (tứ giác có hai đường chéo cắt nhau và bằng nhau) - Ta có: $\widehat{BOC} = 2 \times \widehat{BAC}$ (tính chất đường trung trực) - Vì tam giác ABC có AB < AC nên $\widehat{ABC} > \widehat{ACB}$ - Suy ra: $\widehat{BAC} < 90^\circ$ - Vậy $\widehat{BOC} < 180^\circ$ Đáp số: Tứ giác AMON là hình bình hành và $\widehat{BOC} < 180^\circ$.