Giải giúp bài tập

Câu 19: Để tính giá trị biểu thức \( P = a + 2b \), ta cần tìm giới hạn của biểu thức \( \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + ax} + bx) = 2 \). Bước 1: Ta nhân lượng liên hợp để dễ dàng tính giới hạn: \[ \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + ax} + bx) = \lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + ax} + bx \right) \cdot \frac{\sqrt{x^2 + ax} - bx}{\sqrt{x^2 + ax} - bx} \] Bước 2: Nhân liên hợp: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{x^2 + ax} + bx)(\sqrt{x^2 + ax} - bx)}{\sqrt{x^2 + ax} - bx} = \lim_{x \to +\infty} \frac{(x^2 + ax) - b^2x^2}{\sqrt{x^2 + ax} - bx} \] Bước 3: Rút gọn biểu thức ở tử số: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + ax - b^2x^2}{\sqrt{x^2 + ax} - bx} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2(1 + a/x - b^2)}{\sqrt{x^2 + ax} - bx} \] Bước 4: Chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x(1 + a/x - b^2)}{\sqrt{1 + a/x} - b} \] Bước 5: Khi \( x \to +\infty \), các phân số \( a/x \) và \( b/x \) sẽ tiến đến 0: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x(1 - b^2)}{\sqrt{1} - b} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x(1 - b^2)}{1 - b} \] Bước 6: Để giới hạn này bằng 2, ta cần: \[ \frac{1 - b^2}{1 - b} = 2 \] Bước 7: Giải phương trình: \[ 1 - b^2 = 2(1 - b) \] \[ 1 - b^2 = 2 - 2b \] \[ b^2 - 2b + 1 = 0 \] \[ (b - 1)^2 = 0 \] \[ b = 1 \] Bước 8: Thay \( b = 1 \) vào biểu thức ban đầu: \[ \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + ax} + x) = 2 \] Bước 9: Ta thấy rằng khi \( b = 1 \), biểu thức trở thành: \[ \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + ax} + x) = 2 \] Bước 10: Để giới hạn này bằng 2, ta cần: \[ \sqrt{x^2 + ax} + x = 2 \] Bước 11: Khi \( x \to +\infty \), ta có: \[ \sqrt{x^2 + ax} \approx x + \frac{a}{2} \] Do đó: \[ x + \frac{a}{2} + x = 2 \] \[ 2x + \frac{a}{2} = 2 \] \[ \frac{a}{2} = 0 \] \[ a = 0 \] Bước 12: Tính giá trị biểu thức \( P = a + 2b \): \[ P = 0 + 2 \cdot 1 = 2 \] Vậy giá trị của biểu thức \( P \) là: \[ \boxed{2} \] Câu 20. Để hàm số \( f(x) \) liên tục trên \(\mathbb{R}\), hàm số phải liên tục tại điểm \( x = 1 \). Điều này có nghĩa là: \[ \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) \] Trước tiên, ta tính giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 1 từ cả hai phía: \[ \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x - 2}{x - 1} \] Ta phân tích tử số: \[ x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2) \] Do đó: \[ \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 2)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 2) = 1 + 2 = 3 \] Vì vậy: \[ \lim_{x \to 1} f(x) = 3 \] Hàm số liên tục tại \( x = 1 \) khi: \[ f(1) = 3 \] Theo định nghĩa của hàm số: \[ f(1) = 3m + 1 \] Do đó: \[ 3m + 1 = 3 \] \[ 3m = 2 \] \[ m = \frac{2}{3} \] Bây giờ, ta tính giá trị biểu thức \( P = 9m^2 + 6m - 2 \): \[ P = 9 \left( \frac{2}{3} \right)^2 + 6 \left( \frac{2}{3} \right) - 2 \] \[ P = 9 \cdot \frac{4}{9} + 6 \cdot \frac{2}{3} - 2 \] \[ P = 4 + 4 - 2 \] \[ P = 6 \] Vậy giá trị của biểu thức \( P \) là: \[ \boxed{6} \] Câu 21: Để tìm giới hạn của dãy số $\lim_{n\rightarrow\infty}(\sqrt{n^2+2n+2}-n+2024)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân lượng liên hợp để đơn giản hóa biểu thức: \[ \lim_{n\rightarrow\infty}(\sqrt{n^2+2n+2}-n+2024) = \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt{n^2+2n+2}-n+2024\right) \] Nhân lượng liên hợp: \[ = \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt{n^2+2n+2}-n+2024\right) \cdot \frac{\sqrt{n^2+2n+2}+n}{\sqrt{n^2+2n+2}+n} \] Bước 2: Rút gọn biểu thức: \[ = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(n^2+2n+2)-n^2 + 2024(\sqrt{n^2+2n+2}+n)}{\sqrt{n^2+2n+2}+n} \] \[ = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2n+2 + 2024(\sqrt{n^2+2n+2}+n)}{\sqrt{n^2+2n+2}+n} \] Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho $n$: \[ = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2 + \frac{2}{n} + 2024\left(\sqrt{1+\frac{2}{n}+\frac{2}{n^2}}+1\right)}{\sqrt{1+\frac{2}{n}+\frac{2}{n^2}}+1} \] Bước 4: Tính giới hạn khi $n \to \infty$: \[ = \frac{2 + 0 + 2024(1+1)}{1+1} = \frac{2 + 4048}{2} = \frac{4050}{2} = 2025 \] Vậy giới hạn của dãy số là: \[ \lim_{n\rightarrow\infty}(\sqrt{n^2+2n+2}-n+2024) = 2025 \] Câu 22: Để hàm số \( y = f(x) \) liên tục tại điểm \( x_0 = 2 \), ta cần đảm bảo rằng: \[ \lim_{x \to 2} f(x) = f(2) \] Trước tiên, ta tính giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến 2: \[ \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2} \] Ta phân tích tử số: \[ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) \] Do đó: \[ \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x - 3)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x - 3) = 2 - 3 = -1 \] Tiếp theo, ta cần \( f(2) \) cũng bằng -1 để hàm số liên tục tại \( x = 2 \): \[ f(2) = a^2 - 2a \] Đặt: \[ a^2 - 2a = -1 \] Giải phương trình này: \[ a^2 - 2a + 1 = 0 \] \[ (a - 1)^2 = 0 \] \[ a = 1 \] Vậy, chỉ có một giá trị thực của tham số \( a \) để hàm số liên tục tại điểm \( x_0 = 2 \). Đáp án: 1