đghjijhhhgggffghhjj

Câu 11. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một để xác định mệnh đề nào là sai. Mệnh đề A: \[ \lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 - x + 1} + x - 2) \] Ta xét giới hạn: \[ \lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 - x + 1} + x - 2) \] Khi \( x \to -\infty \), ta có thể viết lại biểu thức dưới dạng: \[ \sqrt{x^2 - x + 1} = |x| \sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} \] Vì \( x \to -\infty \), nên \( |x| = -x \). Do đó: \[ \sqrt{x^2 - x + 1} = -x \sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} \] Khi \( x \to -\infty \), các phân số \( \frac{1}{x} \) và \( \frac{1}{x^2} \) sẽ tiến đến 0, vậy: \[ \sqrt{x^2 - x + 1} \approx -x \sqrt{1} = -x \] Do đó: \[ \lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 - x + 1} + x - 2) = \lim_{x \to -\infty} (-x + x - 2) = \lim_{x \to -\infty} (-2) = -2 \] Mệnh đề A sai vì giới hạn thực sự là \(-2\) chứ không phải \(-\frac{3}{2}\). Mệnh đề B: \[ \lim_{x \to -1} \frac{3x + 2}{x + 1} \] Khi \( x \to -1 \): \[ \frac{3x + 2}{x + 1} = \frac{3(-1) + 2}{-1 + 1} = \frac{-3 + 2}{0} = \frac{-1}{0} \] Phân số này không xác định và tiến đến \(-\infty\) khi \( x \to -1 \) từ bên trái và \( +\infty \) khi \( x \to -1 \) từ bên phải. Do đó, mệnh đề B đúng. Mệnh đề C: \[ \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 - x + 1} + x - 2) \] Khi \( x \to \infty \), ta có thể viết lại biểu thức dưới dạng: \[ \sqrt{x^2 - x + 1} = x \sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} \] Khi \( x \to \infty \), các phân số \( \frac{1}{x} \) và \( \frac{1}{x^2} \) sẽ tiến đến 0, vậy: \[ \sqrt{x^2 - x + 1} \approx x \sqrt{1} = x \] Do đó: \[ \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 - x + 1} + x - 2) = \lim_{x \to \infty} (x + x - 2) = \lim_{x \to \infty} (2x - 2) = +\infty \] Mệnh đề C đúng. Mệnh đề D: \[ \lim_{x \to -1} \frac{3x + 2}{x + 1} \] Đã kiểm tra ở mệnh đề B, giới hạn này tiến đến \(-\infty\) khi \( x \to -1 \) từ bên trái và \( +\infty \) khi \( x \to -1 \) từ bên phải. Do đó, mệnh đề D đúng. Kết luận: Mệnh đề sai là: \[ \boxed{A} \] Câu 12. Để tìm giới hạn của $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 - 9}$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xét biểu thức bên trong căn bậc hai: \[ x^2 - 9 \] Khi \( x \to +\infty \), \( x^2 \) sẽ tăng lên rất nhanh và lớn hơn 9, do đó \( x^2 - 9 \) cũng sẽ tăng lên rất nhanh. 2. Xét giới hạn của biểu thức bên trong căn bậc hai: \[ \lim_{x \to +\infty} (x^2 - 9) = +\infty \] 3. Xét giới hạn của căn bậc hai của biểu thức: \[ \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 - 9} \] Vì \( x^2 - 9 \to +\infty \) khi \( x \to +\infty \), nên: \[ \sqrt{x^2 - 9} \to +\infty \] Do đó, giới hạn của \(\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 - 9}\) là \(+\infty\). Đáp án đúng là: B. \(+\infty\). Câu 1. Phương trình lượng giác đã cho là: \[ 2\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) - \sqrt{3} = 0 \] a) Phương trình () tương đương với: \[ \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Ta nhận thấy rằng: \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \] Do đó, phương trình () tương đương với: \[ \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \] b) Nghiệm của phương trình () là: \[ x + \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{6} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Từ đó ta có hai trường hợp: \[ x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{6} + k2\pi \] Giải từng trường hợp: \[ x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + k2\pi = -\frac{\pi}{12} + k2\pi \] \[ x = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + k2\pi = -\frac{5\pi}{12} + k2\pi \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = -\frac{\pi}{12} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{5\pi}{12} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] c) Phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng $(-\pi; \pi)$: - Với $k = 0$, ta có: \[ x = -\frac{\pi}{12} \quad \text{và} \quad x = -\frac{5\pi}{12} \] - Với $k = 1$, ta có: \[ x = -\frac{\pi}{12} + 2\pi = \frac{23\pi}{12} \quad (\text{không thuộc khoảng } (-\pi; \pi)) \] \[ x = -\frac{5\pi}{12} + 2\pi = \frac{19\pi}{12} \quad (\text{không thuộc khoảng } (-\pi; \pi)) \] Vậy phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng $(-\pi; \pi)$ là: \[ x = -\frac{\pi}{12} \quad \text{và} \quad x = -\frac{5\pi}{12} \] d) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng $(-\pi; \pi)$: \[ x_1 = -\frac{\pi}{12}, \quad x_2 = -\frac{5\pi}{12} \] Tổng các nghiệm là: \[ x_1 + x_2 = -\frac{\pi}{12} - \frac{5\pi}{12} = -\frac{6\pi}{12} = -\frac{\pi}{2} \] Đáp án: a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Sai (tổng các nghiệm là $-\frac{\pi}{2}$) Đáp số: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai Câu 2. a) Ta xét hiệu của hai số liên tiếp trong dãy số $(u_n)$: \[ u_{n+1} - u_n = [3(n+1) - 1] - (3n - 1) = 3n + 3 - 1 - 3n + 1 = 3 > 0 \] Như vậy, mỗi số hạng sau lớn hơn số hạng trước, nên dãy số $(u_n)$ là dãy số tăng. Do đó, phát biểu này sai. b) Ta kiểm tra xem dãy số $(u_n)$ có phải là cấp số cộng với $a_1 = 2$ và $d = 3$ hay không. - Số hạng đầu tiên của dãy số là $u_1 = 3 \cdot 1 - 1 = 2$, đúng với $a_1 = 2$. - Hiệu của hai số hạng liên tiếp là $u_{n+1} - u_n = 3$, đúng với khoảng cách $d = 3$. Do đó, phát biểu này đúng. c) Ta cần kiểm tra xem số 179 có phải là số hạng thứ 60 của dãy số $(u_n)$ hay không. - Số hạng thứ 60 của dãy số là $u_{60} = 3 \cdot 60 - 1 = 180 - 1 = 179$. Do đó, phát biểu này đúng. d) Ta cần kiểm tra xem tổng của n số hạng đầu tiên của dãy số $(u_n)$ có bằng 5430 khi $n = 59$ hay không. - Tổng của n số hạng đầu tiên của dãy số $(u_n)$ là: \[ S_n = \frac{n}{2} \left(2a_1 + (n-1)d\right) \] - Với $a_1 = 2$, $d = 3$, và $n = 59$, ta có: \[ S_{59} = \frac{59}{2} \left(2 \cdot 2 + (59-1) \cdot 3\right) = \frac{59}{2} \left(4 + 58 \cdot 3\right) = \frac{59}{2} \left(4 + 174\right) = \frac{59}{2} \cdot 178 = 59 \cdot 89 = 5251 \] Như vậy, $S_{59} = 5251$, không bằng 5430. Do đó, phát biểu này sai. Đáp án: a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Sai Câu 3. a) Mẫu số liệu ghép nhóm trên có 5 nhóm số liệu. b) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là \begin{align} \overline{x} &= \frac{(8,5 \times 5) + (8,7 \times 12) + (8,9 \times 25) + (9,1 \times 44) + (9,3 \times 14)}{100} \\ &= \frac{42,5 + 104,4 + 222,5 + 396,4 + 130,2}{100} \\ &= \frac{996}{100} \\ &= 9,96 \end{align} c) Số cây keo có chiều cao khoảng 9,1 m là nhiều nhất. d) Để tìm $Q_1$ và $Q_2$, ta cần xác định các phần tử ở vị trí tương ứng: - $Q_1$ là giá trị ở vị trí $\frac{100}{4} = 25$ (vị trí thứ 25) - $Q_2$ là giá trị ở vị trí $\frac{100}{2} = 50$ (vị trí thứ 50) Từ bảng phân bố tần số, ta thấy: - Nhóm từ [8,4; 8,6) có 5 cây - Nhóm từ [8,6; 8,8) có 12 cây - Nhóm từ [8,8; 9,0) có 25 cây Do đó, $Q_1$ nằm trong nhóm [8,8; 9,0). Ta tính: \begin{align} Q_1 &= 8,8 + \left( \frac{25 - (5 + 12)}{25} \right) \times 0,2 \\ &= 8,8 + \left( \frac{8}{25} \right) \times 0,2 \\ &= 8,8 + 0,064 \\ &= 8,864 \end{align} - Nhóm từ [9,0; 9,2) có 44 cây Do đó, $Q_2$ nằm trong nhóm [9,0; 9,2). Ta tính: \begin{align} Q_2 &= 9,0 + \left( \frac{50 - (5 + 12 + 25)}{44} \right) \times 0,2 \\ &= 9,0 + \left( \frac{8}{44} \right) \times 0,2 \\ &= 9,0 + 0,03636 \\ &= 9,03636 \approx 9,15 \end{align} Vậy $Q_1 = 8,864$ và $Q_2 = 9,15$. Câu 4. Trước tiên, ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một để xác định xem chúng đúng hay sai. a) \( EC // FD \). - Ta thấy rằng \( E \) và \( C \) đều thuộc mặt phẳng \( ABEF \) và \( D \) và \( F \) đều thuộc mặt phằng \( ADF \). Tuy nhiên, không có thông tin nào cho thấy \( EC \) và \( FD \) song song với nhau. Do đó, phát biểu này chưa chắc chắn. b) \( (ADF) // (BCE) \). - Để hai mặt phẳng song song, chúng phải không giao nhau và có các đường thẳng tương ứng song song. Mặt phẳng \( (ADF) \) bao gồm các điểm \( A, D, F \) và mặt phẳng \( (BCE) \) bao gồm các điểm \( B, C, E \). Không có thông tin nào cho thấy hai mặt phẳng này song song với nhau. Do đó, phát biểu này chưa chắc chắn. c) \( IJ \) qua \( M \) và \( IJ // AF \). - Mặt phẳng \( (P) \) đi qua \( M \) và song song với mặt phẳng \( (ADF) \). Vì \( (P) \) song song với \( (ADF) \), mọi đường thẳng trong \( (P) \) sẽ song song với đường thẳng tương ứng trong \( (ADF) \). Do đó, \( IJ \) sẽ song song với \( AF \). Hơn nữa, vì \( M \) là trọng tâm của \( \Delta ABE \), nó nằm trên đường thẳng \( BE \) và \( (P) \) đi qua \( M \), nên \( IJ \) sẽ đi qua \( M \). Phát biểu này đúng. d) \( \frac{AN}{NC} = 3 \). - Ta biết rằng \( N \) nằm trên \( AC \) và \( (P) \) cắt \( AC \) tại \( N \). Vì \( (P) \) song song với \( (ADF) \), tỷ lệ \( \frac{AN}{NC} \) sẽ phụ thuộc vào vị trí của \( N \) trên \( AC \). Tuy nhiên, không có thông tin cụ thể về vị trí của \( N \) trên \( AC \) để xác định tỷ lệ này. Do đó, phát biểu này chưa chắc chắn. Kết luận: Phát biểu đúng là: c) \( IJ \) qua \( M \) và \( IJ // AF \). Đáp án: c) \( IJ \) qua \( M \) và \( IJ // AF \). Câu 1. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rằng huyết áp của một người thay đổi theo chu kỳ nhịp tim. Mỗi lần tim đập, huyết áp tăng lên đến mức tâm thu và sau đó giảm xuống đến mức tâm trương. Chúng ta sẽ giả sử rằng huyết áp thay đổi theo một hàm sin hoặc cosin, vì đây là dạng hàm phổ biến mô tả các hiện tượng dao động. Bước 1: Xác định chu kỳ của nhịp tim. - Nhịp tim là 70 lần trên phút, tức là mỗi lần đập mất thời gian là $\frac{60}{70} = \frac{6}{7}$ giây. Bước 2: Xác định biên độ và trung bình của huyết áp. - Huyết áp tâm thu là 120 mmHg. - Huyết áp tâm trương là 80 mmHg. - Biên độ của dao động huyết áp là $\frac{120 - 80}{2} = 20$ mmHg. - Trung bình của huyết áp là $\frac{120 + 80}{2} = 100$ mmHg. Bước 3: Viết phương trình mô tả sự thay đổi của huyết áp theo thời gian. - Ta chọn hàm cosin để mô tả sự thay đổi của huyết áp, vì khi thời gian bằng 0, huyết áp đạt giá trị tâm thu. - Phương trình có dạng: $P(t) = A \cos(\omega t) + B$, trong đó $A$ là biên độ, $\omega$ là tần số góc, $t$ là thời gian và $B$ là giá trị trung bình. - Biên độ $A = 20$ mmHg. - Tần số góc $\omega = \frac{2\pi}{T}$, trong đó $T$ là chu kỳ. Ở đây, $T = \frac{6}{7}$ giây, nên $\omega = \frac{2\pi}{\frac{6}{7}} = \frac{7\pi}{3}$ rad/giây. - Giá trị trung bình $B = 100$ mmHg. Vậy phương trình mô tả sự thay đổi của huyết áp theo thời gian là: \[ P(t) = 20 \cos\left(\frac{7\pi}{3} t\right) + 100 \] Đáp số: Phương trình mô tả sự thay đổi của huyết áp theo thời gian là $P(t) = 20 \cos\left(\frac{7\pi}{3} t\right) + 100$.