Tính giá trị f'(2). Câu 10 (4đ). Cho $f(x)$ là hàm số bậc ba, biết rằng tiếp,tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại điểm (O, 0) trùng,với tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=xf(x)$ tại điểm,$(1,2).$ Giá trị của $f^\prime(2)$ là:

Question

Accepted Answer

Câu 10:
Để giải bài toán này, ta cần phân tích các thông tin đã cho và sử dụng các kiến thức về đạo hàm và tiếp tuyến.

1. Thông tin về tiếp tuyến tại điểm $(0, 0)$:

- Hàm số $f(x)$ là hàm bậc ba, do đó có dạng $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$.
   - Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm $(0, 0)$ có phương trình $y = f'(0)(x - 0) + f(0)$.
   - Vì điểm $(0, 0)$ nằm trên đồ thị, nên $f(0) = 0$. Do đó, phương trình tiếp tuyến tại $(0, 0)$ là $y = f'(0)x$.

2. Thông tin về tiếp tuyến tại điểm $(1, 2)$ của hàm số $y = x f(x)$:

- Hàm số $y = x f(x)$ có đạo hàm là $g(x) = x f'(x) + f(x)$.
   - Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x f(x)$ tại điểm $(1, 2)$ có phương trình $y = g(1)(x - 1) + 2$.
   - Tại $x = 1$, ta có $g(1) = 1 \cdot f'(1) + f(1)$.

3. Điều kiện tiếp tuyến trùng nhau:

- Tiếp tuyến của $y = f(x)$ tại $(0, 0)$ là $y = f'(0)x$.
   - Tiếp tuyến của $y = x f(x)$ tại $(1, 2)$ là $y = (f'(1) + f(1))(x - 1) + 2$.
   - Hai tiếp tuyến này trùng nhau, do đó hệ số góc của chúng phải bằng nhau: $f'(0) = f'(1) + f(1)$.

4. Tính $f'(2)$:

- Từ điều kiện $f'(0) = f'(1) + f(1)$, ta cần thêm thông tin để tính $f'(2)$.
   - Tuy nhiên, bài toán không cung cấp đủ thông tin để xác định cụ thể $f(x)$, do đó ta không thể tính chính xác $f'(2)$ chỉ dựa vào các điều kiện đã cho.

Vì vậy, bài toán này không thể giải quyết hoàn toàn với thông tin hiện có. Có thể có một số thông tin bị thiếu hoặc cần thêm giả thiết để xác định $f(x)$ và từ đó tính $f'(2)$.