Tính giá trị a. Câu 11: Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n=\frac{an+4}{5n+3}$ trong đó a là tham số thực. Để dãy số $(u_n)$ có giới hạn bằng,2, thì giá trị của a là

Question

Accepted Answer

Câu 11:
Để tìm giá trị của tham số $ a $ sao cho dãy số $ (u_n) $ với $ u_n = \frac{an + 4}{5n + 3} $ có giới hạn bằng 2, ta tiến hành như sau:

Bước 1: Xác định giới hạn của dãy số $ (u_n) $.

Ta có:
$$
u_n = \frac{an + 4}{5n + 3}
$$

Bước 2: Chia cả tử số và mẫu số cho $ n $ để đơn giản hóa biểu thức.

$$
u_n = \frac{\frac{an}{n} + \frac{4}{n}}{\frac{5n}{n} + \frac{3}{n}} = \frac{a + \frac{4}{n}}{5 + \frac{3}{n}}
$$

Bước 3: Tìm giới hạn của $ u_n $ khi $ n \to \infty $.

Khi $ n \to \infty $, các hạng tử chứa $ \frac{1}{n} $ sẽ tiến về 0. Do đó:

$$
\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{a + \frac{4}{n}}{5 + \frac{3}{n}} = \frac{a + 0}{5 + 0} = \frac{a}{5}
$$

Bước 4: Đặt giới hạn này bằng 2 và giải phương trình để tìm $ a $.

$$
\frac{a}{5} = 2
$$

Nhân cả hai vế với 5:

$$
a = 10
$$

Vậy giá trị của $ a $ là $ 10 $.