Tìm $\rm u_1; d$.

Câu 13: Để xác định số hạng đầu \( u_1 \) và công sai \( d \) của cấp số cộng \( (u_n) \), chúng ta sẽ sử dụng các công thức của cấp số cộng: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Trước tiên, ta viết lại các điều kiện đã cho dưới dạng phương trình: 1. \( u_8 = 3u_3 - 1 \) 2. \( u_{12} = 2u_5 + 12 \) Áp dụng công thức \( u_n = u_1 + (n-1)d \): \[ u_8 = u_1 + 7d \] \[ u_3 = u_1 + 2d \] \[ u_{12} = u_1 + 11d \] \[ u_5 = u_1 + 4d \] Thay các biểu thức này vào các điều kiện đã cho: 1. \( u_1 + 7d = 3(u_1 + 2d) - 1 \) 2. \( u_1 + 11d = 2(u_1 + 4d) + 12 \) Giải từng phương trình: Phương trình thứ nhất: \[ u_1 + 7d = 3u_1 + 6d - 1 \] \[ u_1 + 7d - 3u_1 - 6d = -1 \] \[ -2u_1 + d = -1 \] \[ d = 2u_1 - 1 \quad \text{(1)} \] Phương trình thứ hai: \[ u_1 + 11d = 2u_1 + 8d + 12 \] \[ u_1 + 11d - 2u_1 - 8d = 12 \] \[ -u_1 + 3d = 12 \] \[ 3d = u_1 + 12 \] \[ d = \frac{u_1 + 12}{3} \quad \text{(2)} \] Bây giờ, ta so sánh hai biểu thức của \( d \) từ (1) và (2): \[ 2u_1 - 1 = \frac{u_1 + 12}{3} \] Nhân cả hai vế với 3 để loại bỏ mẫu số: \[ 3(2u_1 - 1) = u_1 + 12 \] \[ 6u_1 - 3 = u_1 + 12 \] \[ 6u_1 - u_1 = 12 + 3 \] \[ 5u_1 = 15 \] \[ u_1 = 3 \] Thay \( u_1 = 3 \) vào phương trình (1): \[ d = 2(3) - 1 \] \[ d = 6 - 1 \] \[ d = 5 \] Vậy, số hạng đầu \( u_1 \) và công sai \( d \) của cấp số cộng là: \[ u_1 = 3 \] \[ d = 5 \]