Tính diện tích tam giác ABC. Câu 11 (4đ). Với $a\in\mathbb{R}^+,$ cho hàm số $f(x)$ xác định,trên tập $\{x|-\frac a2

Question

Tính diện tích tam giác ABC. Câu 11 (4đ). Với $a\in\mathbb{R}^+,$ cho hàm số $f(x)$ xác định,trên tập $\{x|-\frac a2<x\leq a,x
e\frac a2\}$ và được cho bởi,$f(x)=	an(\frac{\pi x}a).$ Gọi A, B là hai điểm trên đồ thị hàm,số $y=f(x)$ sao cho ba điểm O, A, B thẳng hàng. Từ A,,kẻ đường thẳng song song với trục hoành và cắt đồ thị,$y=f(x)$ tại hai điểm A và C (với $C
ot\equiv A).$ Tính diện tích,của tam giác ABC trong trường hợp $\Delta ABC$ đều.

Accepted Answer

Câu 11:
Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định điều kiện xác định của hàm số
Hàm số $ f(x) = \tan\left(\frac{\pi x}{a}\right) $ xác định khi:
- $-\frac{a}{2} < x \leq a$
- $\frac{\pi x}{a} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ với $k \in \mathbb{Z}$

Điều kiện thứ hai tương đương với:
$$
\frac{\pi x}{a} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x \neq \frac{a}{2} + ka
$$
Vì $x$ nằm trong khoảng $-\frac{a}{2} < x \leq a$, ta chỉ cần xét $k = 0$, do đó:
$$
x \neq \frac{a}{2}
$$

Bước 2: Xác định vị trí của các điểm A, B, C
Giả sử $A(x_1, f(x_1))$ và $B(x_2, f(x_2))$ là hai điểm trên đồ thị hàm số sao cho ba điểm $O(0, 0)$, $A$, $B$ thẳng hàng. Điều này có nghĩa là:
$$
\frac{f(x_1) - 0}{x_1 - 0} = \frac{f(x_2) - 0}{x_2 - 0}
$$
$$
\frac{\tan\left(\frac{\pi x_1}{a}\right)}{x_1} = \frac{\tan\left(\frac{\pi x_2}{a}\right)}{x_2}
$$

Vì $\Delta ABC$ đều, nên $A$, $B$, $C$ phải có cùng tung độ, tức là:
$$
f(x_1) = f(x_2) = f(x_3)
$$

Bước 3: Tính diện tích tam giác đều $\Delta ABC$
Giả sử $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_1)$, $C(x_3, y_1)$ với $x_1 < x_2 < x_3$. Vì $\Delta ABC$ đều, nên:
$$
x_2 - x_1 = x_3 - x_2 = x_3 - x_1 = \frac{a}{\sqrt{3}}
$$

Diện tích tam giác đều cạnh $s$ là:
$$
S = \frac{\sqrt{3}}{4} s^2
$$

Với $s = x_3 - x_1 = \frac{a}{\sqrt{3}}$, ta có:
$$
S = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a^2}{3} = \frac{a^2}{4\sqrt{3}}
$$

Vậy diện tích của tam giác $\Delta ABC$ là $\frac{a^2}{4\sqrt{3}}$.