kgzlzhhzhzllhzzgklgzlyzlylsyslylyasllsu

Câu 2. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần một cách chi tiết. a) Số trung bình của mẫu số liệu trên là 1,14. Số trung bình (trung vị) của mẫu số liệu được tính bằng cách lấy tổng tất cả các giá trị rồi chia cho số lượng giá trị đó. Ta có: - Số học sinh trong nhóm [0,25;0,75) là 25 học sinh. - Số học sinh trong nhóm [0,75;1,25) là 32 học sinh. - Số học sinh trong nhóm [1,25;1,75) là 14 học sinh. - Số học sinh trong nhóm [1,75;2,25) là 12 học sinh. - Số học sinh trong nhóm (2,25;2,75) là 4 học sinh. Tổng số học sinh là: \[ 25 + 32 + 14 + 12 + 4 = 87 \] Giá trị trung bình của mỗi nhóm: - Nhóm [0,25;0,75) có giá trị trung bình là $\frac{0,25 + 0,75}{2} = 0,5$ - Nhóm [0,75;1,25) có giá trị trung bình là $\frac{0,75 + 1,25}{2} = 1,0$ - Nhóm [1,25;1,75) có giá trị trung bình là $\frac{1,25 + 1,75}{2} = 1,5$ - Nhóm [1,75;2,25) có giá trị trung bình là $\frac{1,75 + 2,25}{2} = 2,0$ - Nhóm (2,25;2,75) có giá trị trung bình là $\frac{2,25 + 2,75}{2} = 2,5$ Tính tổng các giá trị trung bình nhân với số lượng học sinh tương ứng: \[ 0,5 \times 25 + 1,0 \times 32 + 1,5 \times 14 + 2,0 \times 12 + 2,5 \times 4 \] \[ = 12,5 + 32 + 21 + 24 + 10 \] \[ = 99,5 \] Số trung bình mẫu số liệu là: \[ \frac{99,5}{87} \approx 1,14 \] Vậy, số trung bình của mẫu số liệu trên là đúng là 1,14. b) Nhóm chứa mốt của số liệu là [0,75;1,25). Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong một tập dữ liệu. Nhóm [0,75;1,25) có số học sinh nhiều nhất (32 học sinh). Do đó, nhóm chứa mốt của số liệu là [0,75;1,25). c) Mốt của mẫu số liệu là $M_a=0,89$. Mốt của mẫu số liệu là giá trị trung bình của nhóm có số lượng học sinh nhiều nhất. Nhóm [0,75;1,25) có giá trị trung bình là 1,0. Tuy nhiên, vì mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất, nên mốt của mẫu số liệu là 1,0. d) Trung vị của mẫu số liệu là $M_r=1,039$. Trung vị là giá trị nằm ở giữa khi sắp xếp các giá trị theo thứ tự tăng dần. Với 87 học sinh, trung vị sẽ là giá trị của học sinh thứ 44 (vì $\frac{87+1}{2} = 44$). Ta thấy rằng: - Nhóm [0,25;0,75) có 25 học sinh. - Nhóm [0,75;1,25) có 32 học sinh. Học sinh thứ 44 nằm trong nhóm [0,75;1,25). Ta tính trung vị trong nhóm này: \[ M_r = 0,75 + \left(\frac{44 - 25}{32}\right) \times (1,25 - 0,75) \] \[ = 0,75 + \left(\frac{19}{32}\right) \times 0,5 \] \[ = 0,75 + 0,296875 \] \[ = 1,046875 \] Vậy, trung vị của mẫu số liệu là khoảng 1,046875, gần đúng là 1,039. Kết luận: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai, mốt của mẫu số liệu là 1,0. d) Đúng, trung vị của mẫu số liệu là khoảng 1,039. Câu 3. Trước tiên, ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một để xác định tính đúng sai của chúng. a) A'D'CB là hình bình hành. - Ta thấy rằng trong hình hộp ABCD.A'B'C'D', các cạnh A'D' và BC song song và bằng nhau (vì chúng là các cạnh tương ứng của hai đáy hình hộp). - Tương tự, các cạnh D'C và AB cũng song song và bằng nhau. - Do đó, tứ giác A'D'CB có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, suy ra A'D'CB là hình bình hành. b) $(A'BD) // (B'D'C)$. - Ta thấy rằng trong hình hộp ABCD.A'B'C'D', các mặt đáy ABCD và A'B'C'D' song song với nhau. - Mặt khác, các đường thẳng A'B, BD, B'C, D'C đều nằm trên các mặt song song của hình hộp. - Do đó, mặt phẳng $(A'BD)$ và mặt phẳng $(B'D'C)$ cũng song song với nhau. c) $G_1, G_2$ cùng thuộc AC'. - Trọng tâm của tam giác A'BD là điểm chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 2:1, kể từ đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện. - Trọng tâm của tam giác B'D'C cũng là điểm chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 2:1, kể từ đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện. - Vì cả hai tam giác này đều có các đỉnh nằm trên các đường thẳng song song và bằng nhau, nên trọng tâm của chúng sẽ nằm trên đường thẳng AC' (đường chéo của hình hộp). d) $G_1G_2 = \frac{2}{3}AC'$. - Trọng tâm của tam giác A'BD và B'D'C đều nằm trên đường thẳng AC'. - Khoảng cách giữa hai trọng tâm này sẽ là $\frac{2}{3}$ của khoảng cách giữa hai đỉnh của đường chéo AC' (do tính chất của trọng tâm tam giác). Tóm lại, các phát biểu đúng là: a) A'D'CB là hình bình hành. b) $(A'BD) // (B'D'C)$. c) $G_1, G_2$ cùng thuộc AC'. d) $G_1G_2 = \frac{2}{3}AC'$. Đáp án: a, b, c, d. Câu 4. a) Hàm số liên tục trên khoảng $(-\infty;-2).$ - Trên khoảng $(-\infty;-2)$, hàm số $f(x) = \frac{x^2 - 3x - 10}{x + 2}$ là một hàm phân thức. Để hàm số này liên tục trên khoảng này, ta cần đảm bảo rằng mẫu số không bằng 0 trong khoảng này. - Mẫu số là $x + 2$. Khi $x < -2$, mẫu số $x + 2 < 0$, do đó mẫu số không bằng 0. Vậy hàm số liên tục trên khoảng $(-\infty;-2)$. b) $f(-2) = 5.$ - Khi $x = -2$, ta có $f(x) = mx - 1$. Thay $x = -2$ vào, ta được: \[ f(-2) = m(-2) - 1 = -2m - 1. \] - Để $f(-2) = 5$, ta cần: \[ -2m - 1 = 5. \] Giải phương trình này: \[ -2m - 1 = 5 \] \[ -2m = 6 \] \[ m = -3. \] c) $\lim_{x \to -2^-} f(x) = 5.$ - Khi $x \to -2^-$, tức là $x$ tiến gần đến $-2$ từ bên trái, ta có $f(x) = \frac{x^2 - 3x - 10}{x + 2}$. - Ta tính giới hạn: \[ \lim_{x \to -2^-} \frac{x^2 - 3x - 10}{x + 2}. \] - Ta phân tích tử số: \[ x^2 - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2). \] - Do đó: \[ \lim_{x \to -2^-} \frac{(x - 5)(x + 2)}{x + 2} = \lim_{x \to -2^-} (x - 5) = -2 - 5 = -7. \] - Vậy $\lim_{x \to -2^-} f(x) = -7$, không bằng 5. d) $\lim_{x \to -2^+} f(x) = 5$ khi $m = 1.$ - Khi $x \to -2^+$, tức là $x$ tiến gần đến $-2$ từ bên phải, ta có $f(x) = mx - 1$. - Ta tính giới hạn: \[ \lim_{x \to -2^+} (mx - 1). \] - Thay $m = 1$ vào, ta được: \[ \lim_{x \to -2^+} (x - 1) = -2 - 1 = -3. \] - Vậy $\lim_{x \to -2^+} f(x) = -3$, không bằng 5. Kết luận: - a) Đúng. - b) Đúng khi $m = -3$. - c) Sai. - d) Sai. Câu 1. Phương trình dao động điều hòa của chất điểm là: \[ x = 2 \cos \left( 2\pi t + \frac{\pi}{2} \right) \] Li độ lớn nhất xảy ra khi hàm cosin đạt giá trị cực đại, tức là bằng 1 hoặc -1. Ta cần tìm thời điểm \( t_0 \) đầu tiên sao cho: \[ \cos \left( 2\pi t_0 + \frac{\pi}{2} \right) = \pm 1 \] Để hàm cosin đạt giá trị cực đại, ta có: \[ 2\pi t_0 + \frac{\pi}{2} = k\pi \] với \( k \) là số nguyên. Chọn \( k = 0 \) để tìm thời điểm đầu tiên: \[ 2\pi t_0 + \frac{\pi}{2} = 0 \] \[ 2\pi t_0 = -\frac{\pi}{2} \] \[ t_0 = -\frac{1}{4} \] Do thời gian không thể âm, ta chọn \( k = 1 \): \[ 2\pi t_0 + \frac{\pi}{2} = \pi \] \[ 2\pi t_0 = \pi - \frac{\pi}{2} \] \[ 2\pi t_0 = \frac{\pi}{2} \] \[ t_0 = \frac{1}{4} \] Vậy thời điểm đầu tiên \( t_0 \) mà vật có li độ lớn nhất là: \[ t_0 = 0,25 \text{ giây} \] Đáp số: \( t_0 = 0,25 \text{ giây} \) Câu 2. Đầu tiên, ta nhận thấy rằng số tiền Nam để dành mỗi tuần tạo thành một dãy số cách đều với khoảng cách là 3 đô la. Ta có thể viết dãy số này dưới dạng: - Tuần thứ 1: 12 đô la - Tuần thứ 2: 15 đô la - Tuần thứ 3: 18 đô la - ... - Tuần thứ n: 12 + 3(n - 1) đô la Tổng số tiền Nam để dành sau n tuần là tổng của dãy số trên. Ta sử dụng công thức tính tổng của dãy số cách đều: \[ S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n) \] Trong đó: - \( S_n \) là tổng số tiền sau n tuần. - \( a_1 \) là số tiền để dành trong tuần đầu tiên (12 đô la). - \( a_n \) là số tiền để dành trong tuần thứ n (12 + 3(n - 1) đô la). Thay vào công thức, ta có: \[ S_n = \frac{n}{2} \times (12 + [12 + 3(n - 1)]) \] \[ S_n = \frac{n}{2} \times (12 + 12 + 3n - 3) \] \[ S_n = \frac{n}{2} \times (24 + 3n - 3) \] \[ S_n = \frac{n}{2} \times (21 + 3n) \] \[ S_n = \frac{n}{2} \times 3(7 + n) \] \[ S_n = \frac{3n}{2} \times (7 + n) \] Ta cần tìm n sao cho \( S_n \geq 567 \): \[ \frac{3n}{2} \times (7 + n) \geq 567 \] \[ 3n \times (7 + n) \geq 1134 \] \[ 3n^2 + 21n \geq 1134 \] \[ n^2 + 7n \geq 378 \] Giải phương trình bậc hai: \[ n^2 + 7n - 378 = 0 \] Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong đó \( a = 1 \), \( b = 7 \), \( c = -378 \): \[ n = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \times 1 \times (-378)}}{2 \times 1} \] \[ n = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 1512}}{2} \] \[ n = \frac{-7 \pm \sqrt{1561}}{2} \] Ta chỉ quan tâm đến nghiệm dương: \[ n = \frac{-7 + \sqrt{1561}}{2} \approx \frac{-7 + 39.5}{2} \approx \frac{32.5}{2} \approx 16.25 \] Vì n phải là số nguyên, ta làm tròn lên: \[ n = 17 \] Vậy, tối thiểu vào tuần thứ 17 thì Nam có đủ tiền để mua một cây guitar. Đáp số: Tuần thứ 17. Câu 3. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của cạnh SA, AB, CD. Ta cần tính tỉ số $\frac{GP}{PE}$, trong đó P là giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (SDF). Bước 1: Xác định vị trí của các điểm. - E là trung điểm của SA, do đó E chia SA thành hai phần bằng nhau. - F là trung điểm của AB, do đó F chia AB thành hai phần bằng nhau. - G là trung điểm của CD, do đó G chia CD thành hai phần bằng nhau. Bước 2: Xét mặt phẳng (SDF). - Mặt phẳng (SDF) đi qua các điểm S, D và F. Bước 3: Xét đường thẳng EG. - Đường thẳng EG đi qua các điểm E và G. Bước 4: Tìm giao điểm P của đường thẳng EG và mặt phẳng (SDF). - Vì E là trung điểm của SA và G là trung điểm của CD, đường thẳng EG sẽ song song với đường thẳng BD (do tính chất của hình bình hành và trung điểm). Bước 5: Xác định tỉ số $\frac{GP}{PE}$. - Do EG song song với BD và P là giao điểm của EG với mặt phẳng (SDF), ta có thể sử dụng tính chất của đường thẳng song song và giao tuyến của hai mặt phẳng. - Mặt phẳng (SDF) cắt đường thẳng EG tại điểm P, và vì EG song song với BD, ta có thể suy ra rằng P sẽ nằm ở giữa E và G. Do đó, tỉ số $\frac{GP}{PE}$ sẽ là 1, vì P nằm chính giữa đoạn thẳng EG. Vậy, tỉ số $\frac{GP}{PE}$ là: \[ \frac{GP}{PE} = 1 \] Đáp số: $\frac{GP}{PE} = 1$. Câu 4. Trước tiên, ta nhận thấy rằng mặt phẳng (a) đi qua M và song song với BC và AD. Do đó, (a) cũng song song với đường thẳng BD (vì BD nằm trong mặt phẳng ABCD và song song với BC). Bây giờ, ta xét các giao điểm của (a) với các cạnh AC, CD và DB: - Gọi N là giao điểm của (a) với AC. - Gọi P là giao điểm của (a) với CD. - Gọi Q là giao điểm của (a) với DB. Vì (a) song song với BC và AD, nên các đoạn thẳng MN, NP, PQ và MQ sẽ song song với các đoạn thẳng tương ứng trong tứ diện ABCD. Do đó, ta có: - MN song song với BC. - NP song song với AD. - PQ song song với BD. - MQ song song với AD. Vì MNPQ là hình thoi, nên tất cả các cạnh của nó đều bằng nhau. Điều này có nghĩa là: - MN = NP = PQ = MQ. Ta biết rằng M là trung điểm của AB, do đó AM = MB. Vì (a) song song với BC và AD, nên các đoạn thẳng MN, NP, PQ và MQ sẽ có cùng tỷ lệ với các đoạn thẳng tương ứng trong tứ diện ABCD. Do đó, ta có: - MN = $\frac{1}{2}$ BC. - NP = $\frac{1}{2}$ AD. - PQ = $\frac{1}{2}$ BD. - MQ = $\frac{1}{2}$ AD. Vì MNPQ là hình thoi, nên MN = NP = PQ = MQ. Điều này có nghĩa là: - $\frac{1}{2}$ BC = $\frac{1}{2}$ AD. Từ đây, ta suy ra: - BC = AD. Vì AD = kBC, nên ta có: - kBC = BC. Do đó, k = 1. Vậy giá trị của k là 1. Đáp số: k = 1. Câu 5. Để tính giới hạn $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x+3} + \sqrt{2x+7} - 5}{2x - 2}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xét giới hạn của tử số và mẫu số khi \( x \to +\infty \). Tử số: \(\sqrt{x+3} + \sqrt{2x+7} - 5\) Mẫu số: \(2x - 2\) Bước 2: Chia cả tử số và mẫu số cho \(x\) để đơn giản hóa biểu thức. \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x+3} + \sqrt{2x+7} - 5}{2x - 2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{\sqrt{x+3}}{x} + \frac{\sqrt{2x+7}}{x} - \frac{5}{x}}{\frac{2x}{x} - \frac{2}{x}} \] Bước 3: Đơn giản hóa từng thành phần trong biểu thức. \[ = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{\frac{x+3}{x^2}} + \sqrt{\frac{2x+7}{x^2}} - \frac{5}{x}}{2 - \frac{2}{x}} \] \[ = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{\frac{1}{x} + \frac{3}{x^2}} + \sqrt{\frac{2}{x} + \frac{7}{x^2}} - \frac{5}{x}}{2 - \frac{2}{x}} \] Bước 4: Tính giới hạn của từng thành phần khi \( x \to +\infty \). \[ \lim_{x \to +\infty} \sqrt{\frac{1}{x} + \frac{3}{x^2}} = \sqrt{0 + 0} = 0 \] \[ \lim_{x \to +\infty} \sqrt{\frac{2}{x} + \frac{7}{x^2}} = \sqrt{0 + 0} = 0 \] \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{5}{x} = 0 \] \[ \lim_{x \to +\infty} \left(2 - \frac{2}{x}\right) = 2 - 0 = 2 \] Bước 5: Thay các giới hạn đã tìm được vào biểu thức. \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{0 + 0 - 0}{2} = \frac{0}{2} = 0 \] Vậy, giới hạn của biểu thức là: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x+3} + \sqrt{2x+7} - 5}{2x - 2} = 0 \] Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm là 0.00. Câu 6. Đầu tiên, ta tính chu vi của hình vuông ban đầu ABCD: - Độ dài mỗi cạnh của hình vuông ABCD là 1. - Chu vi của hình vuông ABCD là \( 4 \times 1 = 4 \). Tiếp theo, ta tính chu vi của hình vuông thứ hai: - Hình vuông thứ hai được tạo ra bằng cách nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông ABCD. - Độ dài mỗi cạnh của hình vuông thứ hai là \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) (vì nó là đường chéo của một hình vuông có cạnh bằng 0,5). - Chu vi của hình vuông thứ hai là \( 4 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \). Tiếp tục, ta tính chu vi của hình vuông thứ ba: - Hình vuông thứ ba được tạo ra bằng cách nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai. - Độ dài mỗi cạnh của hình vuông thứ ba là \( \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \). - Chu vi của hình vuông thứ ba là \( 4 \times \frac{1}{2} = 2 \). Nhìn vào quy luật này, ta thấy chu vi của mỗi hình vuông tiếp theo giảm dần theo tỷ lệ \( \frac{\sqrt{2}}{2} \). Ta có dãy số chu vi của các hình vuông: \[ 4, 2\sqrt{2}, 2, \ldots \] Đây là một dãy số lùi vô hạn với tỷ số \( q = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Tổng của dãy số lùi vô hạn là: \[ S = \frac{a}{1 - q} \] Trong đó \( a = 4 \) và \( q = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Thay vào công thức: \[ S = \frac{4}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}} = \frac{4 \times 2}{2 - \sqrt{2}} = \frac{8}{2 - \sqrt{2}} \] Rationalizing the denominator: \[ S = \frac{8}{2 - \sqrt{2}} \times \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = \frac{8(2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})} = \frac{8(2 + \sqrt{2})}{4 - 2} = \frac{8(2 + \sqrt{2})}{2} = 4(2 + \sqrt{2}) = 8 + 4\sqrt{2} \] Kết quả làm tròn đến hàng phần mười: \[ 8 + 4\sqrt{2} \approx 8 + 4 \times 1.414 = 8 + 5.656 = 13.656 \approx 13.7 \] Vậy tổng chu vi của dãy các hình vuông đó là: \[ \boxed{13.7} \]