cíu mình với Bài 2: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Lấy M là điểm tuỳ ý trên nửa đường tròn (M khác A và B).,Kẻ MH vuông góc với AB $(H\in AB).$ Trên cùng nửa mặt phang bờ AB chứa nửa đường tròn (O) vẽ hai nửa,đường tròn tâm $O_1,$ đường kính AH và tâm $O_2,$ đường kính BH. Đoạn MA và MB cắt hai nửa đường tròn $(O_1)$,và $(O_2)$ lần lượt tại P và Q. Chứng minh:,$a)~MH=PQ;$,b) Các tam giác MPQ và MBA đồng dạng;,c) PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn $(O_1)$ và $(O_2).$

Question

Accepted Answer

a)

Ta có: $\displaystyle \widehat{APH} =90^{0} \ $ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\displaystyle \Rightarrow \widehat{MPH} =90^{0} \ $ (kề bù)

$\displaystyle \widehat{HQB} =90^{0} \ $ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\displaystyle \Rightarrow \widehat{MQH} =90^{0} \ $ (kề bù)

$\displaystyle \widehat{AMB} =90^{0} \ =\widehat{PMQ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Tứ giác MPHQ có:

$\displaystyle \widehat{MPH} =\widehat{MQH} =\widehat{PMQ} =90^{0} \ $

⇒MPHQ là hình chữ nhật ⇒PQ=MH (tính chất)

b)

Ta có ΔAMH⊥H có $\displaystyle \widehat{APH} =90^{0} \ $ nên HP⊥AM, HP là đường cao

Áp dụng hệ thức lượng vào ΔAMH⊥H đường cao HP có:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
MH^{2} =MP.MA\
\end{array}$
Chứng minh tương tự áp sụng hê thức lượng vào ΔMBH⊥H đường cao HQ có:

MH2=MQ.MB

⇒MP.MA=MQ.MB

$\displaystyle \widehat{PAQ} =\widehat{BMA} \ $(cùng là 1 góc)

⇒ΔMPQ∼ΔMBA (c.g.c)

c)

MPHQ là hình chữ nhật nên $\displaystyle \widehat{MPQ} =\widehat{PQH}$ (so le trong)

ΔMPQ∼ΔMBA⇒$\displaystyle \widehat{MPQ} =\widehat{MBA}$ (hai góc tương ứng)

$\displaystyle \Rightarrow \widehat{PQH} =\widehat{MBA}$

mà trong (O2):$\displaystyle \ \widehat{MBA}$ là góc nội tiếp chắn cung QH

$\displaystyle \widehat{PQH}$ là góc tạo bởi PQ và dây cung QH

⇒PQ là tiếp tuyến (O2)

Chứng minh tương tự (O1) có$\displaystyle \ \widehat{QPH} =\widehat{PAH} \ ( do\ =\widehat{MQP})$

⇒PQ là tiếp tuyến (O1)

⇒PQ là tiếp tuyến của hai đường tròn (O1) và (O2).