giải hộ mik với . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol $(P):~y=x^2$ và đường thẳng $(d):~y=(2m-1)x+2.$,a) Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.,b) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt,có hoành độ $x_1;x_2$ thỏa mãn $\frac{|x_1|}{x_2}+\frac{x_2}{|x_1|}=2.$

Question

Accepted Answer

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm:
$$ x^2 = (2m-1)x + 2 $$
$$ x^2 - (2m-1)x - 2 = 0 $$

Ta có:
$$ \Delta = (2m-1)^2 + 8 = 4m^2 - 4m + 1 + 8 = 4m^2 - 4m + 9 $$

Ta thấy:
$$ \Delta = 4m^2 - 4m + 9 = (2m-1)^2 + 8 > 0 $$

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt, do đó đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.

b) Gọi hai giao điểm của (d) và (P) là $A(x_1, y_1)$ và $B(x_2, y_2)$. Ta có:
$$ x_1 + x_2 = 2m - 1 $$
$$ x_1 x_2 = -2 $$

Theo bài ra ta có:
$$ \frac{|x_1|}{x_2} + \frac{x_2}{|x_1|} = 2 $$

Xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: $x_1$ và $x_2$ cùng dấu
$$ \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = 2 $$
$$ \left( \frac{x_1}{x_2} \right)^2 - 2 \left( \frac{x_1}{x_2} \right) + 1 = 0 $$
$$ \left( \frac{x_1}{x_2} - 1 \right)^2 = 0 $$
$$ \frac{x_1}{x_2} = 1 $$
$$ x_1 = x_2 $$

Điều này mâu thuẫn với $x_1 x_2 = -2$, nên trường hợp này bị loại.

- Trường hợp 2: $x_1$ và $x_2$ khác dấu
$$ \frac{-x_1}{x_2} + \frac{x_2}{-x_1} = 2 $$
$$ -\left( \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} \right) = 2 $$
$$ \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = -2 $$
$$ \left( \frac{x_1}{x_2} \right)^2 + 2 \left( \frac{x_1}{x_2} \right) + 1 = 0 $$
$$ \left( \frac{x_1}{x_2} + 1 \right)^2 = 0 $$
$$ \frac{x_1}{x_2} = -1 $$
$$ x_1 = -x_2 $$

Thay vào $x_1 x_2 = -2$:
$$ x_1 (-x_1) = -2 $$
$$ x_1^2 = 2 $$
$$ x_1 = \sqrt{2} \text{ hoặc } x_1 = -\sqrt{2} $$

Với $x_1 = \sqrt{2}$, ta có $x_2 = -\sqrt{2}$. Thay vào $x_1 + x_2 = 2m - 1$:
$$ \sqrt{2} - \sqrt{2} = 2m - 1 $$
$$ 0 = 2m - 1 $$
$$ m = \frac{1}{2} $$

Với $x_1 = -\sqrt{2}$, ta có $x_2 = \sqrt{2}$. Thay vào $x_1 + x_2 = 2m - 1$:
$$ -\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2m - 1 $$
$$ 0 = 2m - 1 $$
$$ m = \frac{1}{2} $$

Vậy giá trị của $m$ là:
$$ m = \frac{1}{2} $$